推 sales12345 :謝謝D大費心解答 03/24 23:49
※ 引述《sales12345 (111)》之銘言：
: 我在百度(大陸網站)上看到如下的不等式, 有人提示作法但我還是作不出來,
: 想請教各位的想法,謝謝.
: 題目: a,b,c皆為正數且二次方程式ax^2+bx+c=0有實根, 求證:
: (1)max(a,b,c) >= 4(a+b+c)/9
固定b, 4(a+b+c)/9 = 4b/9 + 4(a+c)/9
題目簡化為在 (b/2)^2 >= ac 的條件下求 a+c 的上界 (與 a,b,c 有關)
而在 (b/2)^2 > ac 時的點 (a,c),
其 a+c 之值會小於 (b/2)^2 = ac 時的某點 a,c 之和. (畫水平或垂直線)
題目可再簡化為在 (b/2)^2 = ac 的條件下求 a+c 的上界 (與 a,b,c 有關)
case1. a >= b > b/2 >= c 時
a + c = a + (b^2)/4a = a[1 + (b/2a)^2] < a(1 + (1/2)^2] = 5a/4
故 4b/9 + 4(a+c)/9 < 4a/9 + (4/9)(5a/4) = a = max{a,b,c} 成立
case2. b >= a >= b/2 >= c 時
a + c = a + (b^2)/4a 為一在 [b/2, b] 上的遞增函數 (直接相減可得出),
最大值發生在 a = b 時, 即 b + (b^2)/4b = 5b/4
故 4b/9 + 4(a+c)/9 <= 4b/9 + (4/9)(5b/4) = b = max{a,b,c} 成立
同理， c >= b > b/2 >= a 與 b >= c >= b/2 >= a 時原命題也會成立. q.e.d
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