[複變] 複變積分兩題

[rachel5566 (rachel5566)]

1. 題目是計算下面那個積分值，我的過程也寫在下面

(a)

 ∞  cosx dx         ∞ e^(ix) dx
∫ ────── = Re ∫──────
-∞ x^2 + a^2       -∞ x^2 + a^2

      e^(iz) dz     ∞ e^(ix) dx         e^(iz) dz
=> ∮────── = ∫────── + ∫ ────── = 2iπa
    C z^2 + a^2    -∞ x^2 + a^2      Cr z^2 + a^2          -1

路徑C是從實軸負無限大積到無限大，再由無限大繞上半圓回去(Cr,r→∞)

而由Jordan's lemma，[1/(z^2 + a^2)]→0 當 |z|→∞，則無窮大上半圓積分值為0

計算residue:

        e^(iz)  │        e^(-a)
a   = ─────│     = ────
 -1    z + ia   │z=ia     2ia

所以

 ∞ e^(ix) dx          e^(-a)     πe^(-a)
 ∫────── = 2iπ──── = ─────
-∞ x^2 + a^2           2ia          a

 ∞  cosx dx         ∞ e^(ix) dx      πe^(-a)
∫ ────── = Re ∫────── = ─────
-∞ x^2 + a^2       -∞ x^2 + a^2         a

現在，如果將x取代成kx，那個答案應該會是:

 ∞ cos(kx) dx       ∞ e^(ikx) dx     πe^(-ka)
∫ ────── = Re ∫────── = ─────
-∞ x^2 + a^2       -∞ x^2 + a^2         a

可是Mathematica給我的答案卻是: (詳解給的答案跟我的一樣)

 ∞ cos(kx) dx      πcosh(ka)
∫ ────── =  ──────
-∞ x^2 + a^2           a

請問我的過程哪裡有問題? 還是有什麼細節我沒注意到的呢?

還有第(b)小題也是類似的積分:

 ∞ x sinx dx
∫ ────── = πe^(-a)
-∞ x^2 + a^2

而

 ∞ x sin(kx) dx
∫ ─────── = πe^(-ka)
-∞ x^2 + a^2

Mathematica給我的答案，上面那個是對的，但下面的積分值卻是-πsinh(ka)

2. 一個很常見的積分，一般都是用重積分和極座標的技巧解:

 ∞
 ∫ e^(-x^2)dx = √π
-∞

我用類似1.的路徑去積分，得到的積分值卻是0

請問這題可以怎麼用複變的方法解呢?


先感謝各位的解答m(_ _)m

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Maxwell's equations in the matter:        ┌───┐              ┌───┐
┌──────┐┌──────┐┌────┘   → │┌──────┘   → │
│     →     ││     →     ││    →     δＢ ││     →   →   δＤ │
│ ▽‧Ｄ = ρ││ ▽‧Ｂ = 0 ││▽╳Ｅ = －── ││ ▽╳Ｈ = Ｊ + ── │
│           f││            ││           δt  ││           f   δt  │
└──────┘└──────┘└────────┘└──────────┘

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◆ From: 140.112.211.87
推 G41271      :1和2是你對 3的話大半圓的積分不是0
→ rachel5566  :那為什麼軟體給的是錯的呢? 還有大半圓的積分為何不
→ rachel5566  :是0呢?
追加一題:

 ∞
 ∫ sin^2(x)/x^2 dx
-∞

我用類似的方法求得答案π，Mathematica給我的答案也是π

但是課本上的答案卻是π/2

不知道是哪個正確?
※ 編輯: rachel5566      來自: 140.112.211.87       (03/25 00:51)
→ keroro321   :如果將x取代成kx，那個答案.. 你是用變換積分得到嗎?
→ rachel5566  :也是用複變的方法得到的
→ rachel5566  :其實我沒寫清楚 是cosx=>cos(kx) sinx=>sin(kx)
推 G41271      :我哪知道軟體為什麼錯 大半圓積分為何會是零呢
→ G41271      :答案是π 課本錯
→ keroro321   :k >0 或 k<0 會影響你的積分路徑選擇 要小心一下
→ G41271      :恩 答案的k要改成絕對值k才對, a也要大於零才行
→ keroro321   :真正答案 (對於coskx) 應該是要 (1/a)*π*e^(-|k|a)
→ keroro321   :嗯嗯 a>0