[機統] 條件機率問題

[andy2007 (...)]

各位前輩們好，今天有個問題想要請教各位：

某盒中有三張卡片，一張兩面都是紅色
                另一張兩面均為白色
              而第三張兩面分別為紅色和白色。
現在從盒中隨機取出一張卡片並發現其向上的面為白色，試問另一面也是白色的機率？

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我的想法：

取事件B為「有一面是白色」
  事件A為「兩面都是白色」

        n(B)         2 * C^1_1          C^1_1         2     1     1
P[B] = ------- = --------------- + --------------- = --- + --- = ---
        n(Ω)     C^3_1 * C^2_1     C^3_1 * C^2_1     6     6     2

我的想法為：C^3_1是從三張卡片選一張(三取一) * 選到的那張選一面 C^2_1 (二取一)

            因為「兩面均為白色」的情況
              和「兩面分別為紅色和白色」不會同時發生，

            所以我先將它們兩種情況分類，最後再加起來。

2*C^1_1為「兩面均為白色」的情況；C^1_1為「兩面分別為紅色和白色」的情況。

同理：
        n(A)        2 * C^1_1       2     1
P[A] = ------- = --------------- = --- = ---
        n(Ω)     C^3_1 * C^2_1     6     3

最後
           P[AB]     P[A]     2
P[A|B] = -------- = ------ = ---
           P[B]      P[B]     3

由於 A 和 B 同時發生的情況只有在 A 內，所以 P[AB] = P[A]

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但是朋友的想法是：

        3     2      3     3      6        9      1
P[B]=  --- * --- ＋ --- * --- = ----- ＋ ----- = ---
        6     5      6     5     30       30      2

第一種情況 (第一項)：

3/6，是總共６面，然後有３面是白的

2/5，是現在抽了一張，然後是白的，所以現況就變成剩下５面，然後有２面是白的

這是抽白的第一種情況的機率，也就是一抽，就中白的

第二種情況，就是第一抽沒有抽到白的 (第二項)

3/6，是總共６面，然後有３面是白的，然後第一抽沒有抽到白的

3/5，就是抽了一面，然後現在有還是３面白的，然後剩下５面

然後把這兩種機率加起來，就是抽到白的機率


P[A] = 事件A為「兩面都是白色」，３張卡片只有一張兩面白，所以就是１/３




如果就單看事件 B 的機率，請問我和我朋友哪個的想法正確呢？

或者是說兩個都對？兩個都錯？(那錯的原因是什麼呢？)

初學機率，希望各位前輩們多多包含，替我們指點迷津，

再次感謝各位前輩的幫忙～謝謝您們。 <(_ _)>


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◆ From: 140.125.169.71
※ 編輯: andy2007        來自: 140.125.169.71       (03/26 01:14)
推 darkmomo    :你的方法簡單說就是六面裡面有三面是白的
→ darkmomo    :你只是把他複雜化了一點點  不過意思算是對的
→ darkmomo    :你朋友的想法比較像是要算"抽到一張裡面含白色"
→ darkmomo    :可是這樣算也不對
→ darkmomo    :遊戲規則應該是抽起來看一面而已
→ darkmomo    :你朋友的算法有去看到另一面了  (以上是P(B))
→ darkmomo    :這題是條件機率    答案是2/3
→ darkmomo    :看到一面是白色的狀況有三種
→ darkmomo    :裡面有兩種另一面是白色    所以答案是2/3
→ andy2007    :感謝前輩的幫忙～謝謝您。