推 rachel5566 :我懂了 謝謝您 03/26 08:42
※ 引述《rachel5566 (rachel5566)》之銘言：
: 大家好，我有兩題複變積分請教:
: 1. 這題上次有描述過，我把我的過程寫清楚:
: ∞
: ∫ e^(-x^2) dx = √π
: -∞
: sol> 取實軸負無限大到無限大，再繞半徑無限大的上半圓回去的路徑C，那麼
: ∞
: ∮ e^(-z^2) dz = ∫ e^(-x^2) dx + ∫ e^(-z^2) dz = 0 (不包含奇點)
: C -∞ Cr
: (r→∞)
: 分析等號右邊第二項:
: z = δe^(iθ)
: dz = iδe^(iθ)dθ π
: ∫ e^(-z^2) dz ================== ∫ e^[-(δ^2)e^(i2θ)] iδe^(iθ)dθ
: Cr 0
: π iδe^(iθ)dθ
: = ∫ ────────── 當δ→∞:
: 0 e^[(δ^2)e^(i2θ)]
恩,分子趨於∞沒錯 ,不過分母有趨於無限嗎, 來看看 :
e^[(δ^2)e^(i2θ)] = exp[(δ^2)cos2θ] exp[i(δ^2)sin2θ]
是個 絕對值exp[(δ^2)cos2θ] , 幅角(δ^2)sin2θ 的複數.
其中 0≦θ≦π , 所以 cos2θ 在 π/4 < θ < 3π/4 時會是負的 .
因此, 當δ趨於∞時 , 分母的絕對值exp[(δ^2)cos2θ] 並沒有都趨於∞ .
事實上, 在 π/4 < θ < 3π/4 時 , 分母反而趨於零 ,是 ∞/0 = ∞ 的形式.
所以 , 下面的羅必達也就不適用於 π/4 < θ < 3π/4 了.
: iδe^(iθ) H ie^(iθ)
: lim ────────── = lim ─────────────── = 0
: δ→∞ e^[(δ^2)e^(i2θ)] δ→∞ 2δe^(i2θ)e^[(δ^2)e^(i2θ)]
: π
: ∫ e^(-z^2) dz = ∫ e^[-(δ^2)e^(i2θ)] iδe^(iθ)dθ = 0
: Cr 0
這推論只適用於 0<θ<π/4 和 3π/4 < θ < π ,
所以左右的兩個1/8大圓的線積分的確趨於零沒錯 . 但中間的1/4大圓就不是零了 .
: ∞
: ∴ ∫ e^(-x^2) dx = -∫ e^(-z^2) dz = 0
: -∞ Cr
: 不曉得哪邊做錯了?
這樣OK吧.
喔對,你可能會問那這樣子中間的1/4大圓線積分值不是發散嗎 , 事實上
我們只是無法說明他等於零而已 , 雖然被積函數在δ→∞時雖然的確爆掉,
但也可能正負跳動是±∞ ,相加時就互相消掉了 , 所以積分值是有可能收斂的.
事實上,由此題答案可知 , 他等於 -√π .
: 2. 這題課本的方法是用rectangular contour
: ∞ e^(ax) π
: ∫ ───── dx = ───── , 0 < a < 1
: -∞ 1 + e^x sin(aπ)
: 而我的路徑C是從實軸負無限大到無限大，然後繞下半圓回去
: e^(az) ∞ e^(ax) e^(az)
: ∮ ───── dz = ∫ ───── dx + ∫ ───── dz = 2iπa
: C 1 + e^z -∞ 1 + e^x Cr 1 + e^z -1
: (r→-∞)
我個人習慣是寫 r →∞ ,然後 π≦θ≦ 2π . 給你參考.
: 其中，residue經計算:
: -e^(az) │
: a = ──────────────────── │ = -e^(-iaπ)
: -1 1 + [(z+iπ)/2!] + [(z+iπ)^2/3!] + ... │z=-iπ
其實 z = -3iπ, -5iπ, -7iπ等等, 也都是極點,他們的留數也需要計算.
所以標準解法用矩形是有原因的.
: 而
: z = δe^(iθ)
: e^(az) dz = iδe^(iθ)dθ 0 e^[aδe^(iθ)]
: ∫ ───── dz ================== ∫ ───────── iδe^(iθ)dθ
: Cr 1 + e^z π 1 + e^[δe^(iθ)]
: 當δ→-∞，積分似乎是發散的
有嗎 , 要分段討論 .δ→-∞ , 當 0<θ<π/2 時 , δe^(iθ) 的實部 → -∞ ,
所以e^[aδe^(iθ)]→0 , 分母趨於1 , 分子是δ e^[aδe^(iθ)] ,是 ∞乘0 .
羅必達後→0 , 所以 0<θ<π/2 的線積分是0 .
然後 π/2 < θ < π 時 , δe^(iθ) 的實部 → +∞ , 所以e^[aδe^(iθ)] → ∞ .
同除e^[aδe^(iθ)]後 =
iδe^(iθ)
────────── , 分子趨於 ∞ , 分母趨於1. 恩,無法說明他是零.
e^[-aδe^(iθ)] + 1
這個積分可能爆掉,也可能收斂 ,要看前面的各個極點的留數加總是否收斂.
不過留數加總我懶得算.
事實上,當碰到e^(z)的函數時, 若用極座標轉換 = e^(Rcosθ) e^(iRsinθ)
大半圓上通常不會都收斂, 所以不太會用半圓的contour , 如此題 ,是用矩形.
: 請問我的算式過程哪邊有錯誤?
: 先感謝各位的解答m(_ _)m
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