一點微方的心得

[microball (無華之果)]

以下是自己念到微方的一點心得，
因為在平常ODE的書上好像都沒看到，所以分享一下(有錯請指教)

如果把微分當作線性算子，那麼有以下值得一背的公式：
http://en.wikipedia.org/wiki/Shift_theorem

>> D[f*exp(ax)] = (D+a)[f]* exp(ax)    --- 公式(I)

可以推廣並用數學歸納法證明，令 p(D) 為微分算子多項式，

>> p(D)[f*exp(ax)] = ( p(D+a)[f] ) *exp(ax)   ---公式(II)

這個公式可以很快速的推導出一些常微方的特解。

◎例一： f'+ af = g,  (其中 f,g 都是 t 的函數)

=> (D+a)f = g,  利用公式，我們知道 (D+a)f = [ D(f*exp(ax)) ]*exp(-ax)

=> D(f*exp(ax)) = g*exp(ax),  積分一次，記得有個常數

=> f*exp(ax) = ∫g*exp(ax)dx + C , 兩邊除掉 exp(ax) 就得到 f 的特解。


◎例二： f''+ mf' + n = g

=> 配方後得到 [(D+a)^2 - b] f = g, 其中 a = m/2, b = (m*m/4) -n

=> (D+a)(D+a)f = g+bf, 利用公式，(D+a)(D+a)f = [DD(f*exp(ax))] *exp(-ax)

=> DD(f*exp(ax)) = (g+bf)*exp(ax)

積分兩次後再整理，就可以得到 f 的特解。

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才華不會令人幸福，而自私卻能解除人的痛苦。

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◆ From: 98.221.193.148
※ 編輯: microball       來自: 98.221.193.148       (03/27 14:07)
推 ntust661    :推^^
推 endlesschaos:周易的寫真秘笈上面有提到這些  其他類似的還有
→ endlesschaos:L(D) * e^(ax) = L(a) * e^(ax)
→ endlesschaos:L(D) cos(ax+b) or sin(ax+b) = L(- a^2) cos(ax+b)
→ endlesschaos:or L(- a^2) * sin(ax+b)  其中L(D)為D的多項式  以
→ endlesschaos:上所提到的包括原PO所述用在逆運算子亦可適用
推 herstein    :微分是線性算子沒錯....