→ ckchi :最多最多好像就是n-1個公差1的等差 (項數從1~n-1) 03/28 10:47
→ ckchi :有點難再進一步了 03/28 10:48
→ ckchi :我指得是n很大時 (原題n=5) 03/28 10:48
→ ckchi :不對... 我收回，n大時可以繼續分析下去 03/28 10:58
→ ckchi :只是意義不知道大不大 03/28 11:18
→ ckchi :!!過程繁瑣，結果卻意外簡單 03/28 11:32
先給結果，過程下午有空再打
創創從集合{1,2,...,n}隨意選2個不同的數，
守守從集合{1,2,...,2n}隨意選1個數，
則守守選的數大於創創選的2個數之和的機率為：
n-1
------
2n
補上繁瑣的過程：
如果創創選的兩個數叫 a,b (且a<b)
守守選的數叫 c
下面討論共有幾組 (a,b,c) 符合 c > a+b
a = 1 , b = 2~n : (2n-3) + (2n-4) + (2n-5) + ... + (n+1) + n + (n-1)
a = 2 , b = 3~n : (2n-5) + (2n-6) + ... + n + (n-1) + (n-2)
a = 3 , b = 4~n : (2n-7) + ... + (n-1) + (n-2) + (n-3)
.
.
.
a = n-3 , b = n-1~n-2 : 5 + 4 + 3
a = n-2 , b = n-1~n : 3 + 2
a = n-1 , b = n : 1
所以總共為上面所有數字的和
我們可以發現所有直列剛好都是一個公差為1的等差數列
且由左往右第k列：項數為k，首項為2n-2-k (最右邊那列 k = n-1)
因此若把第k列的和叫做 bk
則：bk = [ 2*(2n-2-k) + (k-1)*1 ] / 2 (等差級數公式)
= (2n-3/2)k - (3/2)*k^2
因此我們所要算的 (即將上面全加起來) 共有：
n-1 n-1 n-1 n-1
Σ bk = Σ [(2n-3/2)k - (3/2)*k^2] = (2n-3/2) * Σ k - (3/2) * Σ (k^2)
k=1 k=1 k=1 k=1
= (2n-3/2) * (n-1)*n/2 - (3/2) * (n-1)*n*(2n-1)/6
= (1/4)*n*(n-1)*[(4n-3)-(2n-1)]
= n(n-1)^2 / 2 (組)
因此所求的機率為：
[n(n-1)^2 / 2 ] / [C(2n,1)*C(n,2)]
= [n(n-1)^2 / 2 ] / [2n*n*(n-1) / 2]
= (n-1) / 2n
即：
創創從集合{1,2,...,n}隨意選2個不同的數，
守守從集合{1,2,...,2n}隨意選1個數，
則守守選的數大於創創選的2個數之和的機率為：
n-1
------
2n
※ 編輯: ckchi 來自: 140.116.89.133 (03/28 13:29)
→ ckchi :打完才發現自己好蠢 由下往上第k行的等差更簡單 03/28 13:31
→ ckchi :如果把最右邊的叫首項，那麼... 03/28 13:32
→ ckchi :每一行也是一個公差為 1 的等差級數 03/28 13:32
→ ckchi :且由下往上數第 k 行的首項為k，項數也為k 03/28 13:33