[微積] Marsden第四章連續函數的一些證明

[josephbe (小夫)]

Marsden在第四章定理4.1.1中提到
如果函數f：A(包含於M)→N是連續的，則對於N中的任一開集合U，f^(-1)(U)是在A中的
開集合。(對某個開集合U'，f^(-1)(U)=U'∩A)

但在4.2.1中證明若f:M→N是連續的而且K包含於M是連通集，則f(K)也是連通集時
一開始假設f(K)不是連通集，所以可以被兩個開集合U跟V分開
因為U跟V是開集合而且f是連續的
所以對某些開集合U'和V'，f^(-1)(U)=U'∩K以及f^(-1)(V)=V'∩K

為什麼這部分不是f^(-1)(U)=U'∩M以及f^(-1)(V)=V'∩M呢？

麻煩各位幫我解答一下
謝謝

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◆ From: 211.74.239.105
※ 編輯: josephbe        來自: 211.74.239.105       (03/29 01:02)
→ keroro321   :你寫的是對的 但不會影響後面的證明
→ josephbe    :謝謝!!那所以後面4.5.1中間質定理的證明也是一樣吧?
→ keroro321   :f^(-1)(U)=U' 和 f^(-1)(V)=V' M是多寫的
→ keroro321   :嗯嗯 似乎都當成類似 f|K --但不會影響證明
推 physicist512:因為f:M→N連續與K包含於M，所以得到f連續於K.根據
→ physicist512:定理4.1.1存在開集合U'與V'使得f^(-1)(U)=U'交集K
→ physicist512:f^(-1)(V)=V'交集K，最後目標證明要證出K不是連通.則
→ physicist512:原命題(P→Q)得證(書上是以~Q→~P證明)[比較好證!?]