→ kusoayan :謝謝! 04/01 17:07
※ 引述《kusoayan (瑋哥)》之銘言：
: 請教一題三角函數證明
: a + b + c = π(三角形的三個內角)
: 試證
: sin a + sin b + sin c <= 3√3 / 2
: 我自己的想法是用柯西 不過到一半就卡住了
: 另外他有第二小題
: 試證 當等號成立時 若且唯若 a = b = c = π/3
: PS 他有提示說 考慮sin函數的圖形 可是不知道怎麼用這個提示
sin a + sin b + sin a cos b + sin b cos a
=sin b (1+cos a) + cos b sin a + sin a
=√[(1+cos a)^2+sin^2 a] sin (b+u) + sin a
=Q
where tan u=sin a/(1+cos a)
First, fix a, then Q has the maximum when sin(b+u)=1.
Q≦√[(1+cos a)^2+sin^2 a] + sin a
=√(2+2cos a) + sin a
=2cos(a/2) + 2 sin(a/2) cos(a/2)
=2cos(a/2)[1+sin(a/2)]=2K
Let sin(a/2)=t
K^2=(1-t^2)(1+t)^2=(1-t)(1+t)^3
(3-3t)(1+t)^3≦[(3-3t+3+3t)/4]^4=81/16
K^2≦27/16
K≦3√3/4
2K≦3√3/2
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