※ 引述《gauss760220 (章魚)》之銘言：
: 請問一下
: det(A*B)為何等於det(A)*det(B)?
: 該式如何證明?
: 想多了解一些線代觀念性的問題
由行列式公式知 det(A) 對每個component A_ij都是linear
記 |A| = det(A)
有 d |A| = det( dA_ij ) = a^ij dA_ij
(重覆index表summation, a^ij為A_ij之餘因子)
令 C = A*B
已知 C = A = B = I 時, 有
|C| = |A|*|B|
兩邊取differential
LHS = d |C| = c^ij dC_ij = c^ij ( A_ik dB_kj + dA_ik B_kj )
RHS = |A|*d|B| + |B|*d|A| = |A| b^kj B_kj + |B| a^ik dA_ik
用
c^ij / |C| = (C^-1)^ji
C^-1 = B^-1 A^-1
得
d|C| / |C| = (C^-1)^ji (A_ik dB_kj + dA_ik B_kj)
= (B^-1)^jk dB_kj + (A^-1)^ki dA_ik = d ( |A||B| ) / |A||B|
=> d ( |C|/|A||B| ) = 0
故 |C|/|A||B| = 常數 = 1
對於 det = 0的情況可用continuity argument
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