→ LimSinE :2^n也可以用類似的方式 04/01 01:12
※ 引述《Intercome (今天的我小帥)》之銘言：
: ___ __ __
: 若n屬於正整數，利用遞迴數列關係求証√1+√2+√3+...+√n < 2
r = sqrt
設A(k,m) = r(k+r((k+1)... r(k+m) ，從k開始到k+m結束
Claim: A(k,m) < k+1 for all k
m=0時，r(k)<k+1 OK
設m=p 時 A(k,p) <k+1 for all k
則 A(k,p+1) = r(k+ A(k+1,p)) < r(k+k+2) = r(2k+2) <= k+1
故得證！
事實上
B(k,m) = r(k^2 + r((k+1)^2 ... r((k+m)^2) ，類似A(k,m)，只是每一項都換成平方
Claim: B(k,m) < k+1 for all k
m=0時，r(k^2)=k<k+1
設m=p時 B(k,p)<k+1 for all k
則 B(k,p+1) = r(k^2+B(k+1,p)) <r(k^2+k+2) <= k+1
(有人提到B(1,m)<2 這個結果，不過沒有給證明)
一樣的方法，得到更強的結果
對B來說，這個估計不錯，因為 k<B(k,m)<k+1
可以看出A則是一個很鬆的不等式
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This is a stupid example.
I am stupid and so are you.
f(x)=sin^2 αx
by the Fundamental Theorem of Algebra
a= 3√2
q.e.d.
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 67.194.14.71