推 kyoiku :1升2星的期望張數怎會是 0.8*1 + 0.2*(1+x_1)? 04/02 09:50
我用手算
先看一星升二星的情況
想畫樹狀圖畫不出來 = = ,大概是這樣
...................................
一星
二星
一星
二星
一星
二星
我已經知道那個...的部分收斂
(不信的話自己算 :D)
所以以下我要這樣算
一星升二星(機率0.8,需要一張)
一星還是一星(機率0.2,一張),再來我假設終究升二星(機率1),需要 x1 張
所以 0.8*1 + 0.2*(1+x_1) = x_1
解 x_1 = 5/4
這是一星終究升二星所需期望值張數
二升三同樣,數狀圖如下,上排的 一 升 二 升 三 都是終究的意思,機率都是 1
一 二 三
二
三
二星降一星(機率0.3,1張) ,一星終究升二星(機率1,5/4張),二星終究升三星(x_2張)
二星升為三星(機率0.7,1張)
所以 0.3*(1 + 5/4 + x_2) + 0.7*1 = x_2
解 x_2 = 55/28
三升四:
二 三 四
三
四
一樣假設三終究升四需 x_3 張
0.4*(1+ 55/28 + x_3) + 0.6*1 = x_3
x_3 = 125/42
四升五:
三 四 五
四
五
四終究升五要 x_4 張
0.5*(1+ 125/42 + x_4) + 0.5*1 = x_4
解 x_4 = 209/42
最後 x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 5/4 + 55/28 + 125/42 + 209/42 = 67/6
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