推 mqazz1 :謝謝 04/04 11:03
※ 引述《mqazz1 (無法顯示)》之銘言：
: for each of the following relations,
: determine whether the relation is
: reflexive, symmetric, antisymmetric, or transitive
: (1) R is the relation on Z+ where aRb if gcd(a,b)=1
: (2) R is the relation on Z+ where xRy if x^3 + y^2 is even
: 請問這兩個要怎麼判斷呢?
: 謝謝
+
(1) not reflexive: 反例: gcd(2,2) ≠ 1, 但 2 ∈ Z
symmetric: gcd(a,b) = 1 => gcd(b,a) = 1(如果不是應該會造成矛盾)
not antisymmetric: 反例: gcd(4,5) = gcd(5,4)=1,但 5≠4
not transitive: 反例: gcd(4,5) = gcd(5,6)=1,但gcd(4,6) ≠ 1
3 2 2
(2) reflexive: x + x = x (x+1)
3 2
若 x 是 奇數 => x+1 是偶數 => x + x 是偶數
2 3 2
若 x是偶數 => x 是偶數 => x + x 是偶數
+
以上對所有的 Z 都是成立的
3 2 3 2 3 2
symmetric: x + y 是偶數 => 考慮:(1) x, y 都是偶數 (2)x, y 都是奇數
3 2 3
(1) x 偶數 => x偶數 => x 偶數, y 也同理是偶數 => y 是偶數
2 3
=> x + y 是偶數
(2) 和(1)同理
2 3 2 3
not antisymmetric: 反例: x=1, y = 3 => x + y = 28, y + x = 10,
都是偶數,但 x ≠ y
3 2 3 2
transitive: x + y , y + z 都是偶數:
3 2 3 2
討論: (1) x 偶數, y 偶數 => x,y都是偶數 => y 偶數 => z 偶數 => z偶數
2 3 2
=> z 偶數 => x + z 偶數
3 2 3 2
(2) x 奇數, y 奇數 => x,y都是奇數 => y 奇數 => z 奇數 => z奇數
2 3 2
=> z 奇數 => x + z 偶數
Note: 這只是去了解定義的意思,並用一些經驗去做推論,不須想得太複雜
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