[中學] 99省二區1-3

[ythung (費瑪連珠)]

設數列{a(n)}滿足：a(1)=a(2)=1及
a(n+2)={[a(n+1)]^2+a(n+1)+1}/a(n), n=1,2,3,...
試證：數列{a(n)}中任意相鄰兩項都是互質的整數。

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◆ From: 124.9.134.16
推 JohnMash    :a_{n+2}*a_n-a_{n+1}(a_{n+1}+1)=1,done
推 JohnMash    :sorry,重點在證 每個a_n都是整數
推 kusoayan    :為甚麼這樣可以說他們互質@@
推 dqIpb       :因為存在整數 x=a_n, y=a_{n+1}+1 使得
→ dqIpb       :a_{n+2}x + a_{n+1}(-y) = 1
→ dqIpb       :因此 (a_{n+2}, a_{n+1}) = 1
→ dqIpb       :但是不知道怎麼證每項都是整數
→ Sfly        :中學畢業太久了. 問一下 99省二區 是什麼?
→ ythung      :是99學年, 省二區(台北縣)數學能力競賽題筆試一第3題