Re: [中學] 99省二區1-3

[Sfly (topos)]

※ 引述《ythung (費瑪連珠)》之銘言：
: 設數列{a(n)}滿足：a(1)=a(2)=1及
: a(n+2)={[a(n+1)]^2+a(n+1)+1}/a(n), n=1,2,3,...
: 試證：數列{a(n)}中任意相鄰兩項都是互質的整數。

遞迴數列很適合賺p幣 XD

a(n+2)/a(n+1) ~ a(n+1)/a(n), 可以猜到 a(n+2)=k*a(n+1)+ ...
而前幾項為 1,1,3,13,51,..
易見其滿足 a(n+2)=5a(n+1)-a(n)-1.

假設 a(k+2)=5a(k+1)-a(k)-1 對於 k=1,2,..,n-1 成立
則 a(n+2)=[a(n+1)^2+a(n+1)+1]/a(n)
         =[(5a(n)-a(n-1)-1)^2 + (5a(n)-a(n-1)-1) +1]/a(n)
         =25a(n)-10a(n-1)-5 + [a(n-1)^2+a(n-1)+1]/a(n)

Note that [a(n-1)^2+a(n-1)+1]/a(n) = a(n-2),

so a(n+2)=25a(n)-10a(n-1)-5 +a(n-2)
         =5(5a(n)-a(n-1)-1)-(5a(n-1)-a(n-2)-1)-1
         =5a(n+1)-a(n)-1.

Therefore, {a(n)} are all integers.

Also, since a(n)|a(n+1)^2+a(n+1)+1, gcd(a(n),a(n+1))=1.

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◆ From: 131.215.6.212
推 kusoayan    :好漂亮!!
推 JohnMash    :推
推 snew1209    :a(n)|a(n+1)^2+a(n+1)+1,why=>gcd(a(n),a(n+1))=1
→ snew1209    :不太懂上面這行
→ a88241050   :若gcd(a(n),a(n+1))=k,根據XX香雛髪,k|1,所以k=1
推 kusoayan    :香雛法XDDDDD
→ kusoayan    :樓上好糟糕
推 ythung      :請問大大如何確定a(n)是二階線性非齊次的遞迴方程？
→ ythung      :a(5)應該是61
推 ythung      :當然先猜再用induction證就算很完整了, 我問題在於
→ ythung      :如何判別線性與否? 齊次與否?
推 jason01012  :跟snew大有同樣的疑問 為什麼a(n)|a(n+1)^2+a(n+1)+1
→ jason01012  :就能推出互質@@
→ Sfly        :樓上的問題 請看5F
→ Sfly        :@ythung:齊不齊次沒有一定, 如果把a(n)換掉,
→ Sfly        :會得到 a(n+2)=5a(n+1)-5a(n-1)+a(n-2) 是齊次的
推 jason01012  :嗯嗯 可以請教 XX香雛 是什麼意思嗎@@
推 ythung      :謝謝Sfly大大, 5F的回答為輾轉相除
→ ythung      :a(n+1)^2+a(n+1)+1=qa(n)=>k|[a(n+1)+1]a(n+1)-qa(n)
推 WINDHEAD    :其實只要有 a_(n+2)a_n=a_(n+1)^2+xa_(n+1)+y
→ WINDHEAD    :和 a_1=a_2=1, 那就會有 a_(n+2)=Ga_(n+1)-a_n-x
→ WINDHEAD    :這裡 G = 2x+y+2