Re: [分析] Cauchy 積分公式

[gauss760220 (章魚)]

※ 引述《rachel5566 (rachel5566)》之銘言：
: ※ 引述《gauss760220 (章魚)》之銘言：
: : 請問一下
: : f的n階導數(z=a)=n!/(2pi*i)*積分f(z)/(z-a)^(n+1)dz
: : 這個公式要怎麼證明?
: : 順便問一下路徑變形定理:
: : 這定理應該是指說:
: : 一封閉曲線C 所為區域R
: : R內有一奇點 所以要讓積分路徑變成4段
: : 即在C外圍切開一個小段(趨近零)
: : 往奇點畫直線(有去有回)  方向相反 所以此段積分為零
: : 畫一r趨近零的小圓包住此奇點
: : 改變此路徑後 新路徑便均可解析
: : 故新路徑f(z)的封閉積分為0
: : 請問是否有誤?
: : 如有 請給予補充
: : 謝謝
: 第一個問題:
:           1      f(z)      ┌────┐
: f(a) = ───∮ ─── dz  │ 對a微分│
:         2πi  C  z－a      └────┘
: df      1              d┌  1   ┐     1         f(z)
: ─ = ───∮ f(z) dz ─│───│ = ───∮ ───── dz
: da    2πi  C         da└ z－a ┘    2πi  C  (z－a)^2
:  d df      2        f(z)
: ─ ─ = ───∮ ───── dz
: da da    2πi  C  (z－a)^3
: 所以
:  n        n!          f(z)
: f (a) = ───∮ ─────── dz
:          2πi  C  (z－a)^(n+1)
: 第二個問題:
: 你說的沒錯，因為挖掉奇點之後，封閉迴路所包圍的區域不包含奇點，
: 所以封閉迴路積分值恆為0
對了... 不好意思再問個問題

請問一下

為何一封閉曲線C 所圍區域R

假如裡面有奇點

為何可以用路徑變形的方式去等價它?

是根據什麼原理?

謝謝

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→ gauss760220:5F最愛吃這味
→ westwet:關我屁事
→ gtx:昨晚看到這新聞 馬上轉台 好噁
推 oplk:蓋
推 Roddick5566:五樓喜歡把臉埋在陳今佩的木瓜奶裡好香好甜
→ Roddick5566:.........按陰陽
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.120.231.161
推 znmkhxrw    :就像積1/x^0.5，從0+積到1，0那點算是他的sigularity
→ znmkhxrw    :所以你就積a到1，積出來的結果去取lima→0，看有收斂
→ znmkhxrw    :嗎，如果有，就"定義"這個積分"可積"
→ znmkhxrw    :所以在複變中 你取一個變形的路徑 再將此路徑逼到
→ znmkhxrw    :奇異點  道理相似
→ znmkhxrw    :如果路徑不是lim逼近 而是"確確實實"通過奇異點
→ znmkhxrw    :那一定不存在  像是1/x^0.5，從0積到1 不存在
→ znmkhxrw    :但是0+積到1就存在  所以是我們"定義"0積到1
→ znmkhxrw    :是等於0+到1
→ znmkhxrw    :確確實實不存在的理由是：用lim與sigma寫法時(定義)
→ znmkhxrw    :在那點的upper or lower sum就會炸掉了
推 herstein    :Green定理....
推 yusd24      :全純函數在封閉曲線上的積分是零