Re: [機統] 算平均值和變異數

[eewwdog (黯淡)]

※ 引述《eewwdog (黯淡)》之銘言：
: 假設有一隨機變數 X定義如下
:                      N
:                    X=ΣY_i
:                     i=1
: 隨機變數N為 geometric R.V. 他的平均值為1/p 然後Y_i, i=1,2,3......
: 是一系列且獨立的normal distributed  R.V. ,每一個隨機變數Y他的平均值為u,
: 變異數為a^2 and independent of N.  試求隨機變數X的平均值和變異數
: 用p,u,a 表示
: 我的想法是 如果只有單獨隨機變數Y_i 做累加的話
: 他的平均數和變異數分別為 u+u+u... and  a^2+a^2+......
: 但現在題目是二種隨機變數 混合者加
: 這我就不知道要怎麼做了
: 請大家幫我看看要怎麼做
: 謝謝大家

這題我想了一下


初步推導如下


E[X]=E[E[X|N]]=ΣE[X|N=n]P[N=n]
                n

=ΣP[N=n]ΣxP[X=x|N=n]
  n      x


=ΣP[N=n]Σx*P[X=x,N=n]
  n       x

=ΣP[N=n]Σx*(P[X=x]P[N=n])/P[N=n]
 n        x

 無窮大   N
=ΣP[N=n]Σx*P[X=x]
 n=1     x=1



=(1/p)*(u+u+u.....+Y_N)


PS: 變異數 我想用Var[X]=E[X^2]-(E[X])^2 不曉得行不行 = =

我推導到這邊



就又被卡住了  請問一下Y_N 這一項的期望值



到底怎麼表示?

不曉得這樣推導有沒有錯 ?



跪求大家幫忙看一下  謝謝!!

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◆ From: 155.246.166.140
→ yhliu       :E[Y_i]=1/p,E[Y_i^2]=(2-p)/p^2,Var(Y_i)=(1-p)/p^2
→ yhliu       :弄錯了! E[Y_i]=u, Var[Y_i]=a^2, E[Y_i]=a^2+u^2
→ yhliu       :E[N] = 1/p, Var(N) = (1-p)/p^2
→ yhliu       :E[X] = E[E[X|N]] = E[N E[X_1|N]] = E[Nu] = u/p.
→ yhliu       :E[X^2] = E[E[X^2|N]] = E[E[ΣΣY_iY_j|N]]
→ yhliu       :E[X^2] = E[N E[Y_1^2] +N(N-1)E[Y_1Y_2]]
→ yhliu       :E[X^2] = E[N(u^2+a^2)+N(N-1)u^2]