Re: [機統] 已知X~N(u,simga), 求1/X的分布

[inisilver (璞園喔耶)]

繼上次的1/X distribution問題之後

yhliu大告知解distribution不難及1/X不會為normal distribution

所以我決定跳過1/X並且開解我原先想解的問題：


X~Normal(u, sigma)

Z= X / (X+c) 其中c為常數

find Z的變異數.


這次我將Z的distribution算出來

如下：
                                                       c
                                                    (——— - u )^2
　　　　　 1         c             1                  1/z-1
f_z(z) = ——．—————．————————．EXP[ - ————————]
          z^2  (1/z - 1)^2 sqrt(2*pi)*sigma           2*sigma^2


看起來仍然不是Normal distribution

然後我決定直接算出他的variance

variance = E[z^2]-E[z]^2

已知 E[z]= u / (u+c)

但在這邊E[z^2] 我就算不出來了

可否請教E[z^2]該如何解呢？

謝謝！


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◆ From: 140.112.175.168
→ yhliu       :哪來的 "已知 E[Z] =u/(u+c)"?
→ yhliu       :Z = 1- c/(X+c), X+c～N(u+c, sigma)
→ yhliu       :事實上 E[1/(X+c)] 應該是不存在的.
→ yhliu       :Y～N(μ,σ), E[1/Y]=∫(1/y)f(y)dy. 考慮
→ yhliu       :(1/y)e^{-(y-μ)^2/(2σ^2)} 在 (0,1] 的積分, 指數
→ yhliu       :部分下方有界, 且是正的下界, 而 1/y 在 (0,1] 的積
→ yhliu       :分發散.