Re: [複變] Fresnel integrals

[rachel5566 (rachel5566)]

※ 引述《keroro321 (日夕)》之銘言：
:               c
:  你提到的例子如何利用
:   s               1
:  ∫cos(x^2)dx = s∫cos((st)^2)dt  ........
:   0               0
:   1                1                1
:  ∫exp(isz^2)dz = ∫cos(st^2)dt + i∫sin(st^2)dt...(1)
:   0                0                0
:   f(z)=i(z^2) , f'(z)=2iz , f''(z)=2i .
:   z=0 is a saddle point ..........................(2)
:   α=π/2 - [arg(f''(0))]/2 = π/4 ...............(3)
:         ( i*(t(1+i))^2 = -2t^2  !!)
:   Re(f(0)-f(z)) = -2xy............................(4)
: 綜合(1)(2)(3)(4)以上結果 我們可以去選取contour C 為
: 扇型 (半徑為1, 角度 0～π/4) 去掉實數軸
: (借用你畫過的圖 )
: y
: ↑
: │
: │      ╱╲             C =  C1 + C2
: │ C1 ／    ↘ C2
: │  ↗       ﹨          C1:the path of steepest Descent
: │╱ π/4     \
: └──────→ x
: 由 Cauchy-Goursat Theorem 知道
:   1
:  ∫exp(isz^2)dz = ∫exp(isz^2)dz
:   0                C
:    當 s → ∞                  ___
:                              √2π × g(0) ×  exp(s*0) ×  exp(iα)
:    I(s) =∫exp(isz^2)dz ～  ────────────────
:           C                      │ s * f''(0) │^(1/2)
:                                 ___
:                            =  √π ( 1/√2 + i* 1/√2 ) * s^(-1/2)
:   s               1
:  ∫cos(x^2)dx = s∫cos((st)^2)dt = Re (sI(s^2))
:   0               0
:                     ___      __
:               ～ ( √π  /  √2 )
:  之所以少多 "2" 倍的原因 , 是因為估計 I(s) 計算時是算 路徑通過saddle point
:  的兩側 , 而在這 C 只通過一側 .
:  以上 , 是我想的解法 , 如有什麼問題或錯了 , 麻煩告訴我 !

先謝謝您的回答

抱歉，這麼晚才回復

我拿到的解答是:

 s→∞   2         __  １  _____    １           １
∫    cos x dx = √s  (─√π/2s + ──cos(s) + ──sin(s) + ...)
 0                     ２          4s^2          2s

 s→∞   2         __  １  _____     １           １
∫    sin x dx = √s  (─√π/2s － ──cos(s) + ──sin(s) + ...)
 0                     ２            2s          4s^2

計算過程就不寫了，因為落落長我也看不懂 (￣  ￣;;)

我想問的是，這類的逼近法應該是因人而異的吧!?

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 作者  takuminauki (蚊子)                                     看板  Gossiping 
 標題  [爆卦] 蜘蛛精                                                          
 時間  Sun Apr  3 01:20:09 2011                                               

推 ZMittermeyer:一群嘴砲魂，上面嘴砲的明年考台大新研啊
→ ZMittermeyer:考上我一人給10萬，馬的用嘴考最會，素質低落？
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 140.112.211.87
→ keroro321   :你解答精確許多! 我想原理應該是差不多,看你希望的
→ keroro321   :精確度,我是用代好的公式,只能做一次近似.
→ keroro321   :要達到你解答精確度,要經過不少努力啊....
→ keroro321   :我想你應該會從計算過程中,看出原本積分如何轉成
→ keroro321   :算出路徑積分,其中路徑經過saddle point
→ keroro321   :而且是 the path of steepest Descent
→ keroro321   :最後差別的地方應該是估計在saddle point附近的積分