Re: [微積] 一題高微

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《eric80520 (freejustice)》之銘言：
: 題目 Suppose that {ak} is a decreasing sequence of real numbers.
:                    ∞
:      Prove that if Σak converges, then kak→0 as k→∞.
:                    k=1
:      我目前會的
:            ∞
:      since Σak converges,so ak→0 as k→∞
:            k=1
:      by {ak} is decreasing and →0 ,so {ak} is nonegative sequence
:      再來好像要分2k跟2k+1討論, 可是我不太清楚要怎麼做
:      可以教我嗎 謝謝


參考一下:

發信站: 政大狂狷年少 (2009/06/21 Sun 11:03:09)
轉信站: news.cs.nthu!WHSHS

※ 引述《[email protected] (A-gine)》之銘言：
> Suppose {a_k} is a decreasing sequence of real number.
>                ∞
> Prove that if  Σ a_k converges, then k(a_k) → 0 as k → ∞
>               k=1
> 麻煩大大指導Q___Q


Σ a_k converges  ==> a_k → 0
故 {a_k} 非負.
                 2n
(2n)a_{2n} ≦ 2 Σ   a_k → 0 as n→∞, by Cauchy criterion
                k=n+1
                   2n-1
(2n-1)a_{2n-1} ≦ 2 Σ a_k + a_{2n-1} → 0
                    k=n
故得證 k(a_k) → 0 as k → ∞.


---

另外, 剛才想到的方法, 但涉及一個東西以前我的老師三
步解決的, 我現在卻完全不記得----當初我是費了好大力
氣去證的:
   設 b_n≧0, Σb_n = ∞, B_n 是 Σb_n 的部分和,
   則 Σ(b_n/B_n) = ∞.


設 k*a_k 不收斂到 0, 則
  存在 c>0, 存在子列 k(n)*a_{k(n)}≧c, n=1,2,...
故
  a_{k(n)} ≧ c/k(n), n=1,2,...

令 k(0)=0. 則

  k(n)      n    k(j)           n   k(j)
  Σ  a_i = Σ  Σ      a_i ≧ Σ   Σ     c/k(j)
  i=1      j=1 i=k(j-1)+1      j=1 i=k(j-1)+1

              n
         = c Σ (k(j)-k(j-1))/k(j)
             j=1

令 b_n = k(n)-k(n-1), 則 B_n = k(n)↑∞, 故

        Σ (k(n)-k(n-1))/k(n) = ∞

所以 Σa_k 發散, 與假設 Σa_k 收斂矛盾. 矛盾的源頭
是因假設 k*a_k 不收斂到 0. 因此得證 k*a_k→0.

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※ 編輯: yhliu           來自: 125.233.155.137      (04/09 23:59)
推 ppia        :給定任何一自然數 N 都存在夠大的 n 使得 k(n)>2N
→ ppia        :因此 a_N + ...+ a_{k(n)} > c/2
→ ppia        :構成 Cauchy seq. 的否命題
推 ppia        :結果這個手法跟上面那個引理的證明好像類似 orz
推 eric80520   :謝謝你 ^_^
推 math1209    :Rudin, Exer. 11, p.79.