[機統] 變異數(方差)為零的問題

[andy2007 (...)]

前輩們好，今天又有搞不清楚的問題想請教各位了。

                                  2
在隨機變數 X 的 μ  (期望值) 與 σ  (變異數)，在連續的情況下，分別為：
                  X               X

               ∞
μ  = E[X] = ∫   x f (x)dx
  X           -∞    X


  2            2      ∞       2
σ  = E[ (X-μ) ] = ∫   (x-μ)  f (x) dx
  X          X       -∞     X    X

書上寫說：
                      2
一個特殊情況是變異數σ  = 0
                      X

如果 X 為連續，則 f(x) 必在某區間 (a,b)上有 f(x) > 0

                             2
但在此區間上不可能恆有 (x-μ) = 0
                           X

因而知道任何連續隨機變數的變異數不可能為零。

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我的問題是：

1. 「如果 X 為連續，則 f(x) 必在某區間 (a,b)上有 f(x) > 0」

f(x)dx = F'(X)

f(x) 不是恆 > 0嗎？ 有 f(x) < 0 的情況發生嗎？


                                  2
2. 「但在此區間上不可能恆有 (x-μ) = 0」
                                X

為什麼在這個(a,b)區間上不會有任何一個 x 剛好等於 μ ？
                                                   X

是因為連續區間的數有很多個，x 剛好等於 μ  是不可能的嗎？或者是其他原因？
                                         X

初學機率，有很多地方搞不清楚

請各位前輩們多多包含指點迷津，再次感謝各位前輩們。<(_ _)>


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◆ From: 140.125.169.71
→ yhliu       :f(x) 可以等於 0.
→ yhliu       :其沒有說不能有 x 剛好等於μ. 但, x 不會恆等於μ.
→ andy2007    :謝謝yhliu前輩，但是計算出來的μ的值，
→ andy2007    :一定不會落在(a,b)區間內嗎？
→ andy2007    :如果μ會落在(a,b)區間內，那x也在(a,b)區間內，
→ andy2007    :在積分的過程中，這樣x=μ不就會發生嗎？
※ 編輯: andy2007        來自: 140.125.169.71       (04/10 13:42)
→ ricestone   :"恆"是指對任何x都成立，你說的是存在一個x
→ andy2007    :原來「但在此區間上不可能恆有 (x-μ)^2 = 0」是說
→ andy2007    :在此(a,b)區間會有 x=μ，但不會「任何的x都等於μ」
→ andy2007    :我的國文實在太遜了Orz，謝謝ricestone和yhliu前輩。
→ ricestone   :它沒有對會不會有x=μ表達任何意見
→ andy2007    :喔喔，書上說「不可能恆有 (x-μ)^2 = 0」
→ andy2007    :也就是不會「任何的x都等於μ」，
→ andy2007    :但沒有說在此(a,b)區間「會有 x=μ」
→ andy2007    :我又畫蛇添足了Orz