[分析] 絕對值函數

[znmkhxrw (QQ)]

我想證

if

f：S→C , S is an open connected set of Complex plane

f is conti. on S

then

│f│is conti. on S


我不知道這會不會對拉

所以我先從Real-valued function 去下手

試著證證看

if

g：A→R , A is an interval of Real number

g is cont. on A

then

│g│is conti. on A


可是我目前是卡在

from g is cont. on A

for any e > 0 , there exists d(e) > 0

s.t.│g(x) - g(xo)│< e , for all 0 < │x-xo│< d(e)

我們想要湊出

for any e' > 0 , there exists d(e') > 0

s.t.││g(x)│ -│g(xo)││< e' , for all 0 < │x-xo│< d(e')

可是問題來了

如果我們先不要看外面的絕對值

│g(x)│ -│g(xo)│會 <= │g(x) - g(xo)│(triangular inequality)

這時如果取0 < │x-xo│< d(e) 固然會使│g(x) - g(xo)│< e ----*

可是如果我們對於*左右兩邊掛上原本的外面的絕對值

不能確保不等式方向不會變阿！

有沒有辦法試著說明 一定能取到一個neighbor hood

使得 g(x) >= g(xo)

來確保不等式不變



可是後來我想想...

如果一開始取的g是monotone的話

根本不存在一個neighbor hood 使得 g(x) >= g(xo)


請板上神手提示一下 謝謝~~

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.243.146.86
※ 編輯: znmkhxrw        來自: 111.243.146.86       (04/11 20:49)
推 zombiea     :||: C->R is conti
推 jacky7987   :f(x)=x is conti on (1,-1) but |f(x)|=|x| is not
→ jacky7987   :想成可為了別理會我= =
→ jacky7987   :　　　微
→ jacky7987   :||f(x)|-|f(c)|| \leq |f(x)-f(c)|我記得是這樣
→ jacky7987   :三角不等式
→ znmkhxrw    :||f(x)|-|f(c)|| \leq |f(x)-f(c)| 這是蝦米??
推 jacky7987   :兩邊差小於第三邊
→ jacky7987   :abs( abs(f(x))-abs(f(c)) )<=abs(f(x)-f(c))
→ jacky7987   :sorry 某些軟體用太多不好意思
→ znmkhxrw    :OK 謝嚕  原來這個不等式經由討論後是恆成立