推 attomahawk :推薦這個 引導式思考流程。 : ) 04/13 09:13
※ 編輯: ckchi 來自: 140.116.89.133 (04/13 09:41)
※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
: 試求以下三題的極小值
: (1) 4x^2+9y^2
: (2) 4x^2+4xy+9y^2
: (3) 4x^2+4xy+9y^2-12x-8y
想想還是用回的比較清楚
其實從 (1) 到 (2) 再到 (3) 算是一個引導的過程
這題的重點在於：實數的平方 最小值為 0
因此 (1) 很簡單，
x=0 且 y=0 時，4x^2+9y^2 有最小值 0
(2) 一樣化成平方相加
4x^2+4xy+9y^2
= 4x^2+4xy+y^2+8y^2
= (2x+y)^2+8y^2
因此 2x+y=0 且 y=0 時 (即 x=0 且 y=0 時)
4x^2+4xy+9y^2 有最小值 0
(3) 從(2)繼續往下走
因為 4x^2+4xy+9y^2-12x-8y = (2x+y)^2+8y^2-12x-8y
我們可以找一個 (2x+y+a)^2+8(y+b)^2 = (2x+y)^2+8y^2-12x-8y+k (a,b,k都是常數)
(2x+y+a)^2 + 8(y+b)^2
= (2x+y)^2+2a(2x+y)+a^2 + 8y^2+16by+8b^2
= (2x+y)^2+8y^2+4ax+(2a+16b)y+(a^2+8b^2)
= (2x+y)^2+8y^2-12x-8y +k
比較係數：
4a=-12, a=-3
2a+16b=-8, 16b=-2, b=-1/8
k = a^2+8b^2 = 9+8/64 = 9+1/8 = 73/8
所以：
4x^2+4xy+9y^2-12x-8y
= 4x^2+4xy+9y^2-12x-8y+73/8-73/8
= (2x+y-3)^2+8(y-1/8)^2 -73/8
因此當 2x+y-3=0 且 y-1/8=0 時，
4x^2+4xy+9y^2-12x-8y 有最小值 -73/8
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上個色 XD
※ 編輯: ckchi 來自: 140.116.127.158 (04/13 08:39)