Re: [中學] 極小值

[Sfly (topos)]

※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
: ※ 引述《JohnMash (Paul)》之銘言：
: :    試求以下三題的極小值
: :    (3) 4x^2+4xy+9y^2-12x-8y
:      謝謝大家的回答
:      我是想比較一下大家的作法
:      以下是我的作法
:    K=4x^2+4xy+9y^2-12x-8y
:     令y固定 (這就是偏微分的精神)
:    則 K=(2x+y-3)^2+9y^2-8y-(y-3)^2≧9y^2-8y-(y-3)^2
:       K≧8y^2-2y-9=8(y-1/8)^2-9-1/8≧-73/8
:    根據以上的精神
:       求 4x^2+9y^2+8z^2+4xy+10yz+4zx-24x-8y+10z 的極小值
:       K=(2x+y+z-6)^2+9y^2+8z^2+10yz-8y+10z-(y+z-6)^2
:       K≧7z^2+8yz+22z+8y^2+4y-36=8(y+z/2+1/4)^2+7z^2+22z-36-8(z/2+1/4)^2
:       K≧7z^2+22z-36-8(z/2+1/4)^2=5z^2+20z-73/2=5(z+2)^2-73/2-20≧-113/2

我的做法是考慮二次型 f(x,y,z)=4x^2+4xy+9y^2-12xz-8yz
這對應到方陣
[ 4  2 -6]       [ 4  0 -6]         [4  0  0]        [4  0  0]
[ 2  9 -4]   ~   [ 0  8 -1]     ~   [0  8 -1]    ~   [0  8  0]
[-6 -4  0]       [-6 -1  0]         [0 -1 -9]        [0  0 -73/8]

 x,y,z          x'=x+y/2         x''=x+y/2-2z/3         y'=y-z/8

(以上對稱矩陣求smith form的過程)

f(x,y,z)= 4(x+y/2-2z/3)^2 + 8(y-z/8)^2 - (73/8)z^2
f(x,y,1)=4(x+y/2-2/3)^2+8(y-1/8)^2 - 73/8 >= -73/8.

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◆ From: 131.215.6.212
推 JohnMash    :推
推 ntust661    :推!!漂亮的矩陣!!