推 rachel5566 :我不懂分析的東西 囧 04/14 18:30
※ 引述《rachel5566 (rachel5566)》之銘言：
: V(a,b)是上面圓路徑的中心，半徑為R
: 這個平均定理我在向量分析的書裡面有找到，他從Green's indentity出發來證
: 過程非常繁複，也就是要先知道一些前置的定理才能推出平均定理的結論
: 另外，我在http://physics.harvard.edu/~morii/phys15b/lectures/Lecture4.pdf
: 第八頁找到證明三維laplace's equation的平均定理的方法
: 但是我沒辦法用類似的手法去推得二維的結論，不知是否能以同樣的手法推得?
: 或者，能不能以複變積分的技巧來證明呢?
: 先謝謝各位m(_ _)m
惡搞魂突然又發作了@@
(是說我分析不熟, 有錯請多多指正:p)
記 U=單位圓內部 T=單位圓
設 f 是 U 上的 harmonic function, 且在 T 上連續,
我們先證明 f 被 T 上的取值唯一決定。
假設 f 限制在 T 上 ≦ 0
假設 f 在 U 內某點 p 上取值 > 0
取 ε 使 f(p) > ε > 0
記 g(z) = f(z) + ε|z|^2
那麼就有 g(T) ≦ ε 且 g(p) > ε
故 g 在 U 內某點 q 達到 local maximum
也就是說在 q 上有 g_xx≦0 且 g_yy≦0
可是另一方面 g_xx+g_yy = f_xx+f_yy+4ε= 4ε , 此為矛盾
故 f 在 U 上恆 ≦ 0
同理可證 f 在 T 上恆 ≧ 0 => 在 U 上恆 ≧ 0
也就是說，當 f(T)=0 時有 f(U)=0
所以 f 的取值由 T 唯一決定。
考慮 Ψ : f|T -> f -> f(0)
Ψ是一個 positive linear functional
由 Riesz Representation Theorem , 存在 measure μ
使得 f(0) = Ψ(f|T) = ∫ f dμ
T
注意到 Ψ 是旋轉不變的，也就是說對任意 T 的旋轉γ都有 Ψ(foγ) = Ψ(f)
以及當 f=1 時 Ψ(f)=1 ,
可知 dμ = (1/2π)dθ , 此即 average theorem.
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◆ From: 24.12.185.67