Re: [微積] 微積分基本定理的題目

[phs (世故人情情難還...)]

※ 引述《EvilKnight (邪黯)》之銘言：
:                           x
: Let f:(0,∞)→R and f(x)=∫(1/t)dt
:                           1
: Use the Fundamental Theorem of Calculus to show that,
: for all a,b屬於(0,∞),
: f(ab) = f(a) + f(b)

 (sol)        x
        f(x)=∫(1/t)dt
              1
      From the Fundamental Theorem of Calculus, we have

        f'(x) = 1/x => f(x) = ln(x) + c  , x > 0

      => f(ab) = ln(ab) + c = ln(a) + ln(b) + c_
               = f(a) + f(b)


  請教一下這題該怎麼解?
: 有想過透過定理讓式子變成 f'(x)=1/x
: 可是這樣f'(ab)不等於f'(a)+f'(b)耶 @@
: Hint說：
: give a>0
: Let g(x)=f(ax)-f(a)-f(x),x>0 ...
: 可是我看不懂為什麼會這樣列式，也不知道應該怎麼做下去...
: 感謝幫忙~

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◆ From: 220.136.104.240
推 jacky7987   :我想這題出現應該還沒有ln(x)這個函數
推 peicachu    :不需要用對數也可以做唷
→ peicachu    :上一篇已經有提示第一步了,第二步證g(x)是何常數
推 jacky7987   :然後帶1等於0所以該常數是0
推 peicachu    :yes
推 EvilKnight  :感謝phs大提供使用ln的解法 :)
→ G41271      :這題的結果應該是要用來證明1/x的積分是對數函數
→ G41271      :所以不能用ln來證 而且這樣這題還有什麼難的