Re: [機統] 機率兩題觀念

[gwendless (望月‧老蔣)]

※ 引述《andy2007 (...)》之銘言：
: 前輩們好，今日要來請問各位機率的觀念題目
: 1. 如果兩個隨機變數它們有相同的期望值，是否會有相同的變異數？
:    如果有，為什麼會相同？如果沒有，為什麼會不相同？
: 2. X、Y 是幾何隨機變數，他們是否會有相同的期望值，是否會有相同的變異數？
:    如果相同，為什麼相同？如果不相同，為什麼不相同？
:    希望可以不要是舉例子來解釋的方法，是否可以用數學的方法來解釋呢？
: 初學機率，問了奇怪的問題
: 請各位前輩們多多包含，幫我指點迷津，再次感謝各位前輩們。<(_ _)>

  我猜你想訴求的「數學的方式」，

  是能藉由一般化的隨機變數X、Y

  來推導出「肯定X、Y有」相同變異數或「X、Y肯定沒有」相同變異數

  然而還有一種結論，叫做inconclusive（未能定論），

  或口語一點，就是所謂的「不一定」。


  但所謂「數學的方式」，是只要你能提出一個反例，便可推翻一個命題。

  「舉例」並不是「非數學」的證明方式。

  窮舉法、舉反例，都是很完善的「數學證明方式」。

  所以不用拘泥於「萬一舉例了，這題解起來就不夠『數學』了」


  OK，如果接受，那往下繼續看。


  以第一個問題為例，

  你如果想知道「是否」有相同的變異數，

  在嚴謹的數學推導過程裡，我們依然可以先立下一個命題：

  「若X、Y為有相同的期望值的兩個隨機變數，則X、Y必然有相同變異數。」

  在上一行當中，它只是個尚未被證明（或反證）的命題。

  如果我們能舉一個例子，比如說X＝{1,2,3} Y＝{0,2,4}

  顯然X、Y變異數不同，就等於推翻了上面這個命題。



  反之，

  再假設

  「若X、Y為有相同的期望值的兩個隨機變數，則X、Y必然有不同的變異數。」

  反例很好找，只要X和Y分佈一致，那就是一種反例了。因為變異數必然相同。

  那麼，這個命題也是錯的。


  既然，並非「必然有相同變異數」，也非「必然有不同的變異數」

  那麼結論就會是「不一定」（inconclusive）


  也就是說，真正的事實是，

  「若X、Y是期望值相同的兩個隨機變數，他們的變異數『未必』會相同。」



  相同的思維，再去到第二題就輕鬆多了。



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◆ From: 111.243.12.95
※ 編輯: gwendless       來自: 111.243.12.95        (04/14 23:23)
推 andy2007    :謝謝您前輩，我有一個問題：只要X和Y分佈一致，那就
→ andy2007    :是一種反例了。因為變異數必相同。這句話是為什麼呢?
→ andy2007    :不管是哪種分佈，只要兩個隨機變數分佈一致，期望值
→ andy2007    :必相同？變異數必相同？
推 peicachu    :因為分佈一致
推 andy2007    :謝謝前輩，為什麼分佈一致就會相同呢？
→ gwendless   :「分佈一致」跟「呈同一類形分佈」是不太一樣的話
→ gwendless   :你可能把前者誤解為後者了。
推 andy2007    :前輩的意思是說：
→ andy2007    :X＝{1,2,3} Y＝{0,2,4} 分佈不一致，變異數不同
→ andy2007    :X＝{2,2,2} Y＝{2,2,2} 分佈一致，變異數相同
→ andy2007    :這個意思嗎？不好意思，基礎薄弱Orz
→ gwendless   :正解。
→ andy2007    :謝謝前輩，不過分佈一致看起來好像只是把變數換一個
→ andy2007    :：X變成Y 這樣子。