Re: [機統] 一題機率與微積分

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《PoWRer23456 (WR)》之銘言：
: Let X be a continuous random variable with CDF Fx(x) and PDF fx(X).
:           ∞
: Assume  ∫   |x|fx(x)dx exists.
:          -∞
: Show that
: (a) lim  x(1-Fx(x)) = 0 and  lim  xFx(x) = 0
:    x→∞                    x→-∞

只涉及一個隨機變數, 以下把 p.d.f. 及 c.d.f. 之下標省略.

    ∞
因 ∫ |x|f(x) dx 存在, 故
    -∞

   ∫   |x| f(x) dx → 0  as A→∞
    |x|>A

但

   ∫   |x| f(x) dx ≧ ∫   A f(x) dx
    |x|>A               |x|>A

                    = A(F(-A)+1-F(A))

故 A*F(-A)→0 且 A(1-F(A))→0 當 A→∞.


:              ∞                0
: (b) E[X] = ∫  (1-Fx(x))dx - ∫  Fx(x)dx
:              0                -∞

           ∞             0
   E[X] = ∫ x f(x) dx + ∫ x f(x) dx
           0              -∞

          ∞ x               0   0
       = ∫ ∫ dt f(x) dx - ∫  ∫ dt f(x) dx
          0  0               -∞ x

          ∞ ∞              0    t
       = ∫ ∫ f(x) dx dt - ∫  ∫  f(x) dx dt
          0  t               -∞ -∞

          ∞               0
       = ∫ (1-F(t)) dt - ∫  F(t) dt
          0                -∞



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