推 MIZUYAMA :感謝解惑~! 04/17 13:59
※ 引述《MIZUYAMA (致命祈願)》之銘言：
: 最近一直想證明這件事
: 有一個連續函數L，有以下基本性質
: 1.斜率是遞增的
: 2.介於[0,1]之間且起點為(0,0) 終點為(1,1)
: 3.永遠在45度斜線與X軸之間
: 如果滿足以上三項性質後
: 想請問如果給定
: 1.L曲線下的面積(稱為A)
: 2.某點u，使L曲線於u點的微分值為1 。即L'(u)=1
: 我們能說如果知道(A,u)後就能決定L嗎?
: 也就是說如果有一個函數G 滿足一開始的三項條件後
: 且該函數G的(A,u)與L的(A,u)一樣
: 則我們可以得到L=G這個結論嗎?
: 老實說這問題我想好久 連唯一性有沒有可能存在都沒有頭緒....囧"
不會唯一地.
下列曲線族符合前面的條件(基本性質) 1～3.
f(x;r) = x^r, 0≦x≦1; r>1.
令 G(r), 為一機率分布函數, 滿足
(i) G(r) 為 nondecreasing, right continuous.
(ii) G(1)=0, G(∞)=1.
則
∞
f(x) = ∫ f(x;r) dG(r)
1
仍滿足基本性質 1～3.
要符合後面的 "特定" 條件, 即:
1 ∞
∫ f(x) dx = A = ∫ 1/(r+1) dG(r)
0 1
∞
f'(u) = 1 = ∫ ru^{r-1} dG(r)
1
例如: 取 G 是離散 n 點分布:
G 在點 r_i 有 jump p_i, i=1,...,n
而 Σp_i = 1, p_i≧0. 則後面的 "特定" 條件為
n
A = Σ p_i/(r_i +1)
i=1
n
1 = Σ p_i r_i u^{r_i -1}
i=1
符合這兩個條件的 (n, r_1,p_1, ..., r_n,p_n) 不可能
是唯一的. 何況還有連續型分布(G).
符合基本性質 1～3 的基本曲線也不只 y=x^r 一種, 如:
f(x;r) = (e^{rx}-1)/(e^r-1), 0≦x≦1; r>0
也符合基本性質 1～3.
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