Re: [其他] ÷, /,分式的差異

[craig100 (不要問,很‧恐‧怖)]

※ 引述《peicachu (Mvp Steve Nash)》之銘言：
: 此討論已經與之前那篇無關了，
: 所以我另開一篇文章。
: 從小學畢業之後，我手寫就沒再用過÷與/來表示，
: 研究所也沒這方面的困擾，因為都用直式，
: 身邊關於數學史的書也很少這方面的文獻，
: 看到上一篇推文之後，我想問的是：
: (1) (x^2+2x+5)÷(x-2)的商式為x+4， 餘式為13
:      MatHot說這是多項式運算，不用註明x不等於2, 那此時x可以等於2嗎？
: (2) (x^2+2x+5)/(x-2)=(x+4)+13/(x-2)
: 　　這要視為多項式運算還是多項式函數運算還是分式表示？
:     這個表示法需要註明x不等於2嗎？
:      x^2+2x+5           13
: (3) ---------- = x+4 + ----- , 這個表示法與(2)相同嗎？問題同(2)
:        x-2              x-2　
: (4) f(x)=x^2+2x+5, g(x)=x-2 , 這是兩個多項式函數了吧，
:     那麼f(x)/g(x)與(2)相同嗎？寫成直式與(3)相同嗎？問題同上。
: (5) 整除時又該如何？
: 　　例如x^0=1，當然大家都知道x不能等於0，
:     表示成(1)(2)(3)(4)又會如何？
看了原PO題的這些問題

我突然勾起我小高中的記憶:


         (x^2)-1
f(x)= --------------  到底是不是多項式??
           x-1

我有聽過兩派說法 有的說是 有的說不是 但都沒有給定理由 所以無法說服我

一直到了高三


學校老師複習的時候又提到:
------以下是那位老師的各人見解------------
多項式的定義有兩個
1.x所輸出的值域不得被縮減
(我的理解是:x應該要R→R 但如果把值域的R給縮減 那他就不是多項式 有錯請指整 感謝)

2.x必須為有限項
(但其實我很好奇 這會跟泰勒展開式衝突嗎? 還是展開以後就非多項式了??)
-------------------------------------------


回到原本問題

他到底是不是多項式?? 一直到現在我還沒找到讓我信服的答案

故和原po借標題發問

有請版上高手回答^^!

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◆ From: 114.44.133.223
※ 編輯: craig100        來自: 114.44.133.223       (04/17 03:39)
→ simonjen    :回憶大一時 師曰:多項式所構成的向量空間是以1,x,x^2
→ simonjen    :....為基底 所構成的一個空間 所以不會有甚麼1/x 這
→ simonjen    :樣的東西會出現 還有沒有問題 沒問題就小考
→ simonjen    :至於x/x和1有相同嗎 再分析會說 不一樣喔 因為x=0時
→ simonjen    :一個有定義 一個沒定義
推 hirabbitt   :一個左拋物線 不是x的多項式 但是是y的多項式
→ hirabbitt   :主詞要加啊
推 peicachu    :多項式應該是要定義域不能有縮減,須為整個R
推 peicachu    :如f(x)=x^2 , 定義域為R, 值域為R^+ 加上0這點
他會那樣講 是因為他說 f(x)=[x] 不是多項式
→ peicachu    :有被quotion掉的不能算多項式,就算定義域為R
→ peicachu    :如f(x)=x/(x^2+1),不符合基底
→ peicachu    :這是對中學生還沒有向量空間基底觀念的表示方式
→ Sfly        :誰說多項式只能定在R上 ... 係數在哪個環就能定在哪
※ 編輯: craig100        來自: 114.44.133.223       (04/17 13:34)