Re: [其他] ÷, /,分式的差異

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《craig100 (不要問,很‧恐‧怖)》之銘言：
: 看了原PO題的這些問題
: 我突然勾起我小高中的記憶:
:          (x^2)-1
: f(x)= --------------  到底是不是多項式??
:            x-1
: 我有聽過兩派說法 有的說是 有的說不是 但都沒有給定理由 所以無法說服我
: 一直到了高三
: 學校老師複習的時候又提到:
: ------以下是那位老師的各人見解------------
: 多項式的定義有兩個
: 1.x所輸出的值域不得被縮減
: (我的理解是:x應該要R→R 但如果把值域的R給縮減 那他就不是多項式 有錯請指整 感謝)
: 2.x必須為有限項
: (但其實我很好奇 這會跟泰勒展開式衝突嗎? 還是展開以後就非多項式了??)
: -------------------------------------------
: 回到原本問題
: 他到底是不是多項式?? 一直到現在我還沒找到讓我信服的答案

我想現在我會說「是多項式」，因為 f(x) 根本就是 x+1

一般大眾都認識多項式，但是每每要定義的時候就用各式各樣的說法
例如：x不能放分母、要有限項、x不能出現在根號裡
但是這些都只是性質，是多項式顯然的性質

而數學家對「x的多項式」的定義呢？
                       n
就是長成 a +a x+...+a x  這個樣子的東西
          0  1       n
其中 x 是一個符號、一個未定元
這個反而是最簡單、最不模糊的說法
比起一些冗贅的敘述……

再來是分式，簡單來說就是多項式相除（當然分母不能是 0）
另外我們可以約定：只要分子分母有一樣的因式就可以約掉
反正多項式只是一堆式子而已，並不非得具有函數的意義不可
這樣一來 f(x) = x+1 所以是多項式

但是如果想要把多項式看成函數
f(x) 就不再是 |R 上的多項式函數了
但是，它是 |R-{1} 上的多項式函數
只不過它可以很「好」地延拓成 |R 上的函數（定義 f(1)=2）

所以到底要用什麼觀點來看都無所謂
只要說清楚就可以

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◆ From: 111.248.6.243
※ 編輯: Vulpix          來自: 111.248.6.243        (04/17 12:19)
→ joliwugy    :不能說根本就是多項式~~一個可以代 x=1 一個不行
→ joliwugy    :所以還是有差別的
→ WINDHEAD    :可以令 x-->1 阿
→ mikechan    :x-->1 和x=1是不同的觀念
→ WINDHEAD    :ㄙㄨㄚˋ毋知影 x->1 和 x=1 是不同的概念
→ WINDHEAD    :不能代 x=1 退而求其次有什麼關係? 有理數不夠用就
→ WINDHEAD    :拿去逼近出無理數來用阿, 數學求的不就是個方便嘛
→ Vulpix      :就說不把它看成函數了啊，所以沒有「代x=1」這種事
→ Vulpix      :而且數學確實就是求個方便，現在很多人會說「這是
→ Vulpix      :數學家搞出來的文字遊戲」。但是數學家根本不去弄這
→ Vulpix      :種文字遊戲，我覺得這反而是現行考試與教育體制下的
→ Vulpix      :畸形產物。
→ Vulpix      :如本文最後一句：只要說清楚就可以。
→ simonjen    :我無聊去翻了一下線性代數(F的) 發現到polynomial是
→ simonjen    :有定義對應關係的
→ simonjen    :也就是說 polynomial就是一個函數形式
→ simonjen    :若是這樣怎麼不當成一個函數來看??!!
→ Vulpix      :那是當成一個函數來看待的時候，但也可以不要這樣看
→ simonjen    :那是不是應該用個別的東西來替代不這麼看的名稱
→ simonjen    :不然大家說的多項式都是自己的看法 那定義合用?!
※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58), 06/30/2017 10:30:24