Re: [其他] ÷, /,分式的差異

[Vulpix (Sebastian)]

要打的太多只好回文了

: → simonjen    :我無聊去翻了一下線性代數(F的) 發現到polynomial是   04/17 20:41
: → simonjen    :有定義對應關係的                                   04/17 20:41
: → simonjen    :也就是說 polynomial就是一個函數形式                04/17 20:42
: → simonjen    :若是這樣怎麼不當成一個函數來看??!!                 04/17 20:43

我也去翻了一下
在第十頁寫到，常將多項式視為函數看待
所以其實可以不必把它們當函數看待

但是仍然可以定義所謂的 evaluation homomorphism on A[x]
前提是 A 是一個交換環
而且這個 homo. 仍然可以規定使得 (x^2-1)/(x-1) 在 1 「取值」是 2
注意不一定要真的有代值，而是硬性規定一個 evaluation homomorphism
或者說成在 A(x) 的一個 equivalence class 中隨便挑一個能代值的來代
例如說 (x^3+x^2)/x^2
（不過這邊的前提就是 A 是一個 field，
　如果 A 只是 integral domain 的話，要用 Quot(A[x]) 取代 A(x)）

: → Vulpix      :那是當成一個函數來看待的時候，但也可以不要這樣看   04/17 20:49
: → simonjen    :那是不是應該用個別的東西來替代不這麼看的名稱       04/17 21:06
: → simonjen    :不然大家說的多項式都是自己的看法 那定義合用?!      04/17 21:06

實際的情況是：多項式是寫下來的那一串「形式」
反而將多項式視為函數而稱之為多項式函數
這個才是與定義無關的部份
（當然我也知道多項式被定義出來就是想要拿來當函數用
　但是這個初衷有的時候是個包袱而須要調整）
所以如果真的要用個別的東西來替代不這麼看的名稱
應該退讓的是函數的觀點
但這個觀點實在太常用所以大家不忍心用另一個名詞來區隔
或者說，反正區隔了也還是會有人這樣使用

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 111.248.6.243
※ 編輯: Vulpix          來自: 111.248.6.243        (04/17 22:47)
→ simonjen    :其實我是在第9頁看到的 也沒有看到"常用"
→ simonjen    :可能我們看的是不同的書吧 >.<
我看的是 Friedberg/Insel/Spence 的 L.A. 國際版 4ed
這本的第9頁並沒有提到多項式是函數
如果把 g(x) = x, x^2, x^3, ... 都看成 Z/2Z 的函數
那他們都是這個函數：g(0)=0, g(1)=1
以上不同的多項式，卻是同一個函數
所以用函數的方式定義多項式顯然有問題

→ simonjen    :再說若是允許/x這樣的一個符號出現 那麼他的deg定義
→ simonjen    :甚麼 ??!!
→ simonjen    :或許有其他的方式可以來同構這一個環結構 不過我覺得
→ simonjen    :原本該有的名詞本就不該濫用 不然大家討論起來就沒個
→ simonjen    :基準方式
請允許我修正說法：並不是沒有用另一個名詞來區隔，而是有這麼做
　　　　　　　　　例如我的文章中出現多次的「多項式函數」

其實我原本的想法很簡單……
|R[x] → |R(x) 這個 canonical embedding 的 image 就是多項式環
其中所有的元素都稱為多項式
※ 編輯: Vulpix          來自: 111.248.6.243        (04/18 00:12)
→ simonjen    :跟我同一本ㄟ 我看到的定義在例子3裡面
推 peicachu    :哪泥，我的是3th Edition, 我老了嗎...
→ simonjen    :其實我看不太懂你說的有問題是在哪裡??!!
推 peicachu    :When F is a field containing an infinite number
→ peicachu    :of elements, we usually regard a polynomial with
→ simonjen    :在定義裡面 你舉的那一些都是同一個多項式
→ peicachu    :coefficients from F as a function from F to F.
→ simonjen    :恩~~~好像有點知道你想說甚麼
→ simonjen    :在多項式的定義裡面並沒有提及x是個怎樣的東西
→ simonjen    :也定義了甚麼是多項式的相等 也和x無關
→ simonjen    :所以他映出來是甚麼 也和這一個是不是多項式無關
→ simonjen    :不過這和多項式是函數 應該無相關
→ simonjen    :也就是說 在定義裡面 函數包含了 多項式
→ simonjen    :卻不成立相等關係 就像是cosx是函數 卻不是多項式
→ simonjen    :像是 1 - cos(x*(pi/2)) 和 sin(x*(pi/2)) 用相同的
→ simonjen    :定義x的方式 不是0就是1
→ simonjen    :令g(x) = 1 - cos(x*(pi/2)) f(x)= sin(x*(pi/2))
→ simonjen    :g(0) = 0 = f(0)  且  g(1) = 1 = f(1)
→ simonjen    :所以用函數的方式來看 sin cos 是不對的??
→ Vulpix      :先就樓上這個例子說：此處定義域只有{0,1}
→ Vulpix      :這兩個函數表示法沒有任何差異，甚至跟h(x)=x也分不
→ simonjen    :原po的例子 也是相同的定義域
→ Vulpix      :出差異。所以可說f,g都是多項式函數。
→ simonjen    :??!!! 是這樣嗎??!!
→ Vulpix      :畢竟他們跟h這個函數根本就是同一個函數啊
→ Vulpix      :既然h是多項式函數，那f,g當然也是
→ simonjen    :白馬是馬 黑馬是馬 白馬 = 黑馬??!!
→ Vulpix      :別這麼說，白馬非馬的那個「是」不是「=」。
→ simonjen    :是屬於 所以我有用 = 號這一個符號來區分是
→ Vulpix      :只是說f,g,h是多項式函數有點沒意思 通常所謂多項式
→ Vulpix      :函數會在一個affine space上談，或者說最簡單的case
→ Vulpix      :一個field（當然多項式的係數域會隨著不同的affine
→ Vulpix      :space調整）
→ Vulpix      :所以我才用 Z/2Z 這個 field 舉例
→ Vulpix      :另外，跟白馬非馬不一樣的地方是：f=g=h是多項式函數
→ Vulpix      :所謂多項式函數，是可以被多項式表示的函數。