[微積] 關於uniform continous的問題

[kusoayan (瑋哥)]

其實不清楚這樣分類對不對
因為好像沒有牽扯到微積分
但是這是在我們老師丟給我的一本
"Introduction to calculus and analysis"
中在第一章的內容
所以我想應該算是微積分的前置知識吧

問題是這樣的
書上給了這樣一段話

Any function.continuous in a closed and bounded interval,
automatically is uniformly continuous in that interval.

我想問的是 為甚麼要是closed ?

書上給了一個example : y = 1/x
要我先證明他在[a,b] continuous ,再試著找出他可以共用的δ
我是這樣寫的

| 1/x_0 - 1/x | = | x_0 - x | * ( 1/|x_0|*|x| )

                <δ * ( 1/|x_0|*|x| )

所以 取δ=|x_0|*|x|*ε  可以由定義得到他是continuous

再來若限制 x 在 [a,b]
那 |x_0|*|x| 必定大於等於 a^2

a^2 * ε <= |x_0|*|x|*ε=δ

所以取最小的δ = a^2 * ε ,適用於[a,b]中任一點

我的問題是
如果改成(a,b) 不也是可以用 a^2 來代替 |x_0|*|x| 嗎 ?

我自己的猜測是
這樣萬一a = 0 但δ又不能等於零 就糟糕

所以我又試著寫 y= 1/(x-1)
求出的δ剛好是在a=1時出問題

所以是因為x=a時不連續造成問題嗎 ?

如果今天a,b都連續
那(a,b)就可以用δ=a^2 * ε了嘛 ?

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以上問題
因為是老師借了這本書給我自己啃得 再加上還不適應看原文書
所以部份地方可能沒看得很懂 如果大家覺得這個問題很簡單 也請大家包容了 謝謝~"~

另外
想請教一下Inroduction to calculus and analysis 這本書
和其他微積分的書有什麼不同嗎 ?
因為我原本是在圖書館看到很多微積分的書，就去問老師該看哪本比較好
他就借了這本他說他大一時用的書給我
但是我覺得唸起來好像跟其他之前看的不太一樣(除了這是英文之外啦XD)
像是他在continuous上就說了很多
在rational number , real number 上也說了很多(這部份好難懂~"~)
而之前看的則根本沒說這些或只說了一點
所以這本書和其他書(我之前有借了一本"托馬士微積分")大概有什麼差異呢
(因為還沒唸得很多 才念到第一章中間 所以上來問大家@@) ?


以上 謝謝大家


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 125.226.25.158
→ wickeday    :f在(a,b)連續又在a,b連續，那不就在[a,b]連續了嗎
→ wickeday    :另外那本書的書名不就有說是analysis了嗎
→ wickeday    :一般微積分的教科書就是把微積分當工具介紹吧
→ kusoayan    :他的意思是在[a,b]連續嗎@@? 我以為他是說x限制在
→ kusoayan    :[a,b] 且連續  所以我才以為就算x是限制在(a,b)
→ kusoayan    :還是可以找到一致的δ
→ r19891011   :closed & bounded iff compact
→ kusoayan    :表 幾乎都跟微積分有關@@
推 yuyumagic424:樓上水球按成推文
→ kusoayan    :抱歉XD