[微積] 複變的Laurent's Series

[ntust661 (Enstchuldigung~)]

請問


   1/z         1       1
  e     = 1 + ── + ──── + ...
               z     z^2 (2!)



這是對 z = 0 的Laurent展開嗎?



不是 z = ∞ 的展開嗎!!?



我的想法：

                n
   x     ∞    x
  e  =   Σ ────   (about x = 0 )
        n=0    n!


        1
把 x = ── 反代
        z

                     n
   1/z     ∞   (1/z)
  e     =  Σ  ──── (about z = ∞)
           n=0    n!



可是不管是補習班的書，還是原文書，都告訴我，對 z = 0 展開，並且 z = 0 是

Essential singularity

我到底錯在哪裡呢???


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 118.168.235.132
推 jacky7987   :如果在無限大的話,因為是解析所以留數似乎不能有值?
→ jacky7987   :不過你反代的那個式子跟第一個有不同嗎?
→ ntust661    :@@?
推 jacky7987   :或者是想著勞倫展開的form
→ jacky7987   :...+a_1(x-c)+a_0+a_{-1}/(z-c)+a_{-2}/(z-c)^2+...
→ ntust661    :那為什麼我下面的推理是錯的呢@@?
推 tandem      : Laurent's Series 本來就可以有負的次方
推 WINDHEAD    :因為複數平面上不存在∞這個點。雖然可以故意添加∞
→ WINDHEAD    :但卻不可能只用一個座標就能跑遍C和∞, 在∞的時候
→ WINDHEAD    :必須換座標z->1/z, 然後這麼一來0這個點就被排除在
→ WINDHEAD    :更換之後的座標所能描述的範圍以外了。
→ WINDHEAD    :既然我們必須使用不同的座標系來描述點,那麼不同座標
→ WINDHEAD    :下會有不同的Laurent展開,也不是什麼奇怪的事。