Re: [數值]高斯積分法的推導

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《drinks9216 (drinks)》之銘言：
: w_1 + w_2 = 2
: w_1(x_1) + w_2(x_2) = 0
: w_1(x_1)^2 + w_2(x_2)^2 = 2/3
: w_1(x_1)^3 + w_2(x_2)^3 = 0
: Ans : w_1 = 1 , w_2 = 1 , x_1 = －√(3) / 3 , x_2 = √(3) / 3
: 此方程式是怎麼解的 ?

基於遞迴數列的一些性質
可以有一個挺漂亮的一般解法

為了方便，我叫 x_1 作 x，x_2 作 y
令 a_n = w_1*x^n + w_2*y^n
知道這是一個遞迴關係 a_(n+2) - (x+y)*a_(n+1) + xy*a_n = 0 的解
因為 a_0 = 2, a_1 = 0, a_2 = 2/3, a_3 = 0
所以 xy=-1/3, x+y=0
解一元二次方可得 x,y
代回去就可以得到兩個 w

關於這個普適做法的好處是：項數多了也不會慌了手腳
例如有三個 w、三個 x 的時候我們應該需要六條方程式
這是很複雜的聯立方程組

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◆ From: 111.248.1.164
推 jacky7987   :不過基於使用數值的方法,反正丟給電腦算也蠻快的XD
→ jacky7987   :不過怎麼看出這個遞迴的呢?
→ Vulpix      :因為那個遞迴式的一般解就是 w_1*x^n + w_2*y^n
→ Vulpix      :這種形式啊^^  所以需要「一些認識」
推 jacky7987   :哈哈好吧XDDD
※ 編輯: Vulpix          來自: 111.248.1.164        (04/24 18:18)
→ Vulpix      :當然還是有缺點：要解多項方程式，即使是電腦也
→ Vulpix      :解得不是很好，何況是人……
推 drinks9216  :解好快 !!!! 為何 xy=-1/3 和 x+y=0 ? 前輩是否可以
→ drinks9216  :解釋細一點 ? 感謝 <(__)>
→ Vulpix      :把 n=0,1 代入遞迴式即可
推 jacky7987   :我所學的解gauss-Legendre的是解矩陣
→ jacky7987   :不過數值誤差多大我就不知道了D
推 drinks9216  :不好意思 可以在問一下嗎 ?
→ Vulpix      :問題是在於解Legendre poly.的根，這個不一定好辦
→ Vulpix      :然後解矩陣是之後在解權重 w 的時候
→ Vulpix      :請說^^
推 drinks9216  :遞迴關係式 a_(n+2)-.... 中的-(x+y) 和 xy 是怎麼
→ drinks9216  :得出的 ?? 感謝 <(__)>
→ Vulpix      :那是根與係數的關係
推 jacky7987   :因為我都用matlab的root函式XDDD
→ drinks9216  :恩恩 係數不太懂怎麼得來的 ? 還是有固定的公式 ?
→ drinks9216  :感謝前輩熱心回應 <(__)>
→ Vulpix      :詳細的公式請找一些「線性遞迴關係」的資料
推 drinks9216  :真的很不好意思啦一直問問題 感謝前輩熱心回應<(__)>