作者phs (世故人情情難還...)
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標題Re: [中學] 三題期望值
時間Tue Apr 26 12:54:23 2011
※ 引述《ii0 (ii0)》之銘言：
: 有兩個期望值不太懂，希望版友們指教
: 1. n大於等於2，1號到n號籤各一支，每支抽中機會均等，任抽二隻，其差的絕對值的期
: 望值為？
: Ans.(n+1)/3
(解):
1號到n號籤,其差的絕對值最小為1,最大為 n-1
任抽兩支, 設抽中編號為 a 和 b ,則
|a-b| = 1,2,3.......,n-1
|a-b| = 1 => {a,b}={1,2},{2,3},......{n-1,n} 共 (n-1)組
|a-b| = 2 => {a,b}={1,3},{2,4},......{n-2,n} 共 (n-2)組
.....
|a-b| = n-1 => {a,b}={1,n} 共1組
(n-1) (n-2) 1
故 所求 = 1*-------- + 2*-------- + .........+ (n-1)*-------
C(n,2) C(n,2) C(n,2)
1
= --------sum_{k=1}^{n-1} k(n-k)
C(n,2)
1 (n-1)n (n-1)n (2n-1)
= -------- [n(------) - -------------]
C(n,2) 2 6
1 n(n-1) n + 1
= --------- ------ [3n -(2n-1)] = -------
n (n-1) 6 3
--------
2
2.帶中有1至10球各一個，自袋中一次取出二個，求其號碼機的期望值為？
: Ans. 88/3
(解):
設取出編號為a及b 兩球,則
a = 1 , b = 2,3,.....,10 => ab = 2,3,4,5,6,7,8,9,10
a = 2 , b = 3,4,.....,10 => ab = 6,8,10,12,14,16,18,20
a = 3 , b = 4,5,.....,10 => ab = 12,15,18,21,24,27,30
a = 4 , b = 5,6,.....,10 => ab = 20,24,28,32,36,40
a = 5 , b = 6,7,8,9,10 => ab = 30,35,40,45,50
a = 6 , b = 7,8,9,10 => ab = 42,48,54,60
a = 7 , b = 8,9,10 => ab = 56,63,70
a = 8 , b = 9,10 => ab = 72,80
a = 9 , b = 10 => ab = 90
1
故號碼積期望值 = ---------(2+3+4+5+7+9+14+15+16+21
C(10,2) +27+28+32+35+36+42+45+48
+50+54+56+60+63+70+72+80+90)
2
+ -------- (6+8+10+12+18+20+24+30+40)
C(10,2)
= (1/45)(984) + (2/45)(168)
= 88/3
在下想問的是，這題如果是用5.5*5.5的話，就會是錯的
~~~~~~~不懂?
不好意思,小弟只會土法練鋼:P
但是如果是下面這一題的話
: 3.若由袋中一次取出3球，號碼和為k，可得k元，則其期望值為？
(解):
設取出編號 a , b , c 三球
{a,b,c} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
6 =< a+b+c =< 27
1
所求期望值 = --------[1*(6+7+26+27) + 2*(8+25) + 3*(9+24)
C(10,3) + 4*(10+23) + 5*(11+22) + 7*(12+21)
+ 8*(13+20) + 8*(14+19) + 10*(15+18)
+ 10*(16+17)]
= (1/120)(33)*(2+2+3+4+5+7+8+8+10+10)
= 649/40
這題用(5.5)*3的話，就會是對的
:
不知道為什麼會這樣，第三題可以直接算，第二題不行？
: 先謝謝大家的回答
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◆ From: 140.112.101.149
※ 編輯: phs 來自: 140.112.101.149 (04/26 15:27)
※ 編輯: phs 來自: 140.112.101.149 (04/26 16:17)
推 yueayase :(2)看起來是因為,兩顆球所出現的號碼,不是獨立的 04/26 16:38
→ yueayase :因為你同時取兩球,可是第一顆球的點數,會使第二顆球 04/26 16:39
→ yueayase :點數,少一種選擇 Ex: 第一顆球是1的機率且第二顆是2 04/26 16:40
→ yueayase :的機率是, 1/(10x9) = 1/90,但如果你把兩顆球分開看 04/26 16:41
→ yueayase :第一顆球是1的機率是1/10(不考慮第二顆球的存在) 04/26 16:41
→ yueayase :第二顆球也同理,所以P(B1,B2) 和 P(B1)xP(B2)的值 04/26 16:42
→ yueayase :不同 => B1, B2不獨立 => 不可用E(B1B2)=E(B1)E(B2) 04/26 16:43
→ yueayase :(3)其實可以看成B1,B2,B3三顆球 04/26 16:43
→ yueayase :平均而言,B1出現點數的期望值=(1+2+...+10)/10=5.5 04/26 16:44
→ yueayase :其餘也同理E(B2)=E(B3)=5.5=E(B1) 04/26 16:45
→ yueayase :那其實要求的是E(B1+B2+B3) = E(B1)+E(B2)+E(B3) 04/26 16:46
→ yueayase :所以就和5.5*3相同了 04/26 16:46
→ phs :恩！我了解你意思...但我發現第三題我答案是16.225 04/27 00:18
→ phs :跟 5.5*3 = 16.5 有出入...這是怎麼一回事？ 04/27 00:19
※ 編輯: phs 來自: 118.168.207.13 (04/27 00:35)
→ yueayase :不清楚,但你的過程好像沒錯... 04/27 02:20
→ yueayase :不知道是不是因為,同時取球的過程,會影響E(B2),E(B3) 04/27 02:21
→ yueayase :使他們不是5.5 04/27 02:22
→ yueayase :你好像沒有列完.怎麼只有118種可能? 04/27 03:22
→ yueayase :1x4+2x2+3x2+4x2+5x2+7x2+8x2+8x2+10x2+10x2=118 04/27 03:23
→ yueayase :應該沒有列完,而5.5x3=16.5應該是對的 04/27 03:23