[機統] 非連續函數及混合型機率分布的期望值

[joshuakai (joshuakai)]

又來和這邊的鄉民們求教了, 算了很久算不出來..

  The life lengh Y of a component used in a complex electronic system is known
to have an expontial density with a mean of 100 hours. The component is
replaced at failure or at age 200 hours, whichever comes first

(a) Find the distribution function for X , the length of time the component is
    in use.
    ans : F(x) =  \ 0, x < 0
                  /
                 {  (1/100) * exp(-x/100), 0<=x<200
                  \
                  / 1, x>=200

(b) Find E(x)
    ans : 86.47

(a)題目可知Y~exp(B), 期望值=100=B
　 雖然說這是非連續函數及混合型機率分布, 但實在想不出來怎麼定義
   由於不太清楚f(x)的要怎麼定義, 所以我把f(y)加上 f(y)=0 , y>= 200 視作f(x)
   但0<=x<200積上去是1-exp(-x/B), 做不出(1/100) * exp(-x/100)的答案
   後面x>=200積上去也不會是一, 顯然要寫成F(x) = c1F1(x) + c2F2(x), 但就是不會轉
   呀(慘叫

(b)因為拆不成F1(x)F2(x), 期望值我只想到連續函數期望值的定義: x*f(x)的積分去做
   但f(x)算不出來=_=



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◆ From: 118.161.192.219
※ 編輯: joshuakai       來自: 118.161.192.219      (04/29 00:56)
※ 編輯: joshuakai       來自: 118.161.192.219      (04/29 00:57)
→ joshuakai   :明早還有課, 先去睡了, 抱歉不能在這邊等
→ yhliu       :那個 ans 的 F(x) 是錯的!
→ yhliu       :0<x<200 ==> F(x) = 1-exp(-x/100).
→ yhliu       :F(x) = (1-a)F_c+a F_d, a=e^{-2},
→ yhliu       :F_c(x) = F(x)/(1-a) when 0<x<200,
→ yhliu       :F_d(x) = 0 if x<200, =1 if x>=200.
→ yhliu       :E[X] 除了用 p.d.f. 計算以外, 也可以用 1-F(x) 的積
→ yhliu       :分. E[X] = \int_[0,\infty) (1-F(x)) dx
→ joshuakai   :謝謝樓上^^
→ joshuakai   :E[X]=1-F[X] 感覺蠻方便的, 下次去問看看助教能不能
→ joshuakai   :用, 因為那個好像沒教到
※ 編輯: joshuakai       來自: 118.161.192.219      (04/29 17:39)
→ yhliu       :我沒說 "E[X]=1-F[X]", 是 E[X]=∫(1-F(x))dx, 積分
→ yhliu       :範圍是 [0,∞). 這適用於 P[X≧0] = 1 的情形.