Re: [分析] 能否構造出滿足以下條件的函數序列

[scan33scan33 (亨利喵)]

※ 引述《keroro321 (日夕)》之銘言：
: Is it possible to construct a sequence {f_i} of continuous functions
: such that                                          ( f_i:|R—>|R )
:        (i) f_i ≧ 0 for all i .
:       (ii) { x ∣ lim inf f_n(x) = ∞ } = Q ( all rational numbers in |R )
:                    n->∞
: 先感謝各位板友的回應 !

Q_Q 構造看看:(概念寫一寫？)

首先 想像一個function

g(x) = { r(x) for some r > 0, if x in (n-0.1,n+0.1), n 是 0,1,2,3,4.....
       { 0, otherwise

把他想像成這樣好了：

      /\           /\
     /  \         /  \
____/    \_______/    \______
  0.9  1  1.1   1.9 2 2.1

然後我們現在想要用這種r,來當作以下的r唷！ 就是在中間peak是1,兩邊遞減到0.

構造開始！

因為有理數countable,不妨令count的順序q_1,q_2 .... 可以count完。

那想像 f_n(x) = { r(x), if x in (q-0.1^n,q+0.1^n)  q in {q_1,q_2, ... q_n}
                { 0, otherwise

對有理數x,當n夠大 f_n(x) = 1,
對無理數y,如果存在有理數x使得, |y-x| < 0.1^n,
但是可以取到m>n,使|y-x| > 0.1^m, 讓f_m(y) = 0.
(這裡應該要對q_i的列舉順序動一下手腳)
 => 0 是 {f_m(y)}的一個limit point
(加上f_n>=0的條件)
 => liminf f_n(y) = 0

所以我們知道可以：
     { x ∣ lim inf f_n(x) = 1 } = Q ( all rational numbers in |R )

然後對同樣的函數乘以n，得到
     { x ∣ lim inf  n*f_n(x) = ∞ } = Q ( all rational numbers in |R )

故得證.......

有錯請指正，謝謝

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◆ From: 140.112.90.67
※ 編輯: scan33scan33    來自: 140.112.90.67        (04/30 20:37)
→ scan33scan33:q_i的列舉方式應該要構造一下，不然怪怪的XD
→ keroro321   :先謝謝你的回應,感謝啊,我看一下.
→ scan33scan33:我覺得不夠嚴謹耶XD 可是我想睡了XD 想到會再加強
→ scan33scan33:謝謝
→ wickeday    :雖然看的懂要表達的是什麼，不過函數的寫法怪怪的
→ wickeday    :這樣寫非零的部分都只能是r(x)，應該不連續…
推 keroro321   :我大概知道你表達的概念,但無理數部分有很大疑慮
→ keroro321   :對"一"個無理數可以對q_i順序動手腳
→ keroro321   :但對"所有無理數",要如何說明呢?
→ keroro321   :我覺得想要找這樣子的函數序列(如果能找的出)
→ keroro321   :最難的就是如何確保 f_n(無理數) 對任意N
→ keroro321   :總是存在夠大的n(>N) , 可以找到固定上界 .
→ keroro321   :(比如在這你希望是f_n(無理數)=0 在總是夠大的某些n)
→ keroro321   :順便補一下 這是Rudin ,real and complex analysis
→ keroro321   :ch5 Exercise 20 (c)習題
→ scan33scan33:我昨天晚上稅叫的時候想了一下
→ scan33scan33:就是，基本上就用對角線列法。
→ scan33scan33:就是分子+分母等於定值
→ scan33scan33:那如果現在 10^m < |r-x| < 10^n,
→ scan33scan33:令x=a/b,接下來每個數字也會跳個1/(a+b)這麼大格
→ scan33scan33:這個東西是linearly成長，追不上指數的10^m
→ scan33scan33:大概這樣吧！XD 亂講亂講XD 有時間再來詳細寫一下XD
→ scan33scan33:抱歉有點亂orz 有一段時間沒唸分析了Q_Q
→ keroro321   :謝謝回應 我也覺得對角線可以 今早有做看看 還在檢查