[機統] 機率密度函數積分

[andy2007 (...)]

前輩們好，有個題目總是寫的怪怪的，想請各位前輩們看看

Let X and Y have joint pdf :


f    (x,y) = (x+y)   for 0≦x≦1 , 0≦y≦1
 X,Y


Find P[ X+Y > 0.5]

我的寫法：

  1   1
∫  ∫     (x+y) dy dx
  0  0.5-x


   1         1   2  | 1
= ∫  [xy + --- y  ]|       dx
   0         2      | 0.5-x


   1        1                  1        2
= ∫  [x + ---] - [x(0.5-x) + ---(0.5-x)  ] dx
   0        2                  2


   1        1        1    2     1   1         2
= ∫  [x + ---] - [(---x-x ) + ---(--- - x + x ) ] dx
   0        2        2          2   4


   1        1        1    2      1     1       1   2
= ∫  [x + ---] - [(---x-x ) + (--- - --- x + --- x ) ] dx
   0        2        2           8     2       2

   1  1  2        3        25
= ∫ ---x  + x + --- dx = ---- > 1 ???
   0  2           8        24

最後結果竟然會大於1？

如果用作圖法的話

                  1      7
1 - (0.5 ×0.5 ×---) = ---
                  2      8


請問各位前輩，我是哪個地方寫錯了呢？

或者是說解法根本不是這樣，那我該如何寫呢？

初學機率，有很多地方不懂，希望前輩們能指點迷津

謝謝前輩們的幫助～


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.125.169.71
推 boss0405    :這題積分要分塊去積，你把圖畫出來就知道了
→ andy2007    :謝謝前輩，我趕緊去看看，目前看不出來是要切在哪裡
推 womack79    :作圖法好像有錯
→ andy2007    :謝謝womack79前輩，是哪裡錯了呢？
推 boss0405    :這題不能直接看座標圖的面積，因為pdf不是常數
→ boss0405    :積分的部分你把圖畫出來右邊有一塊長方形要另外積

謝謝前輩們的幫忙，我不該直接算面積的

我的更正如下：


  0.5   1                   1     1
∫   ∫     (x+y) dy dx + ∫   ∫      (x+y) dy dx
  0   0.5-x                 0.5  0.5-x

    0.5  1  2       3         1         1
= ∫    ---x + x + --- dx + ∫    (x + ---) dx
    0    2          8         0.5       2

   1  3   1  2   3   | 0.5      1  2    1     | 1
= ---x + ---x + ---x |     + ( ---x  + ---x ) |
   6      2      8   | 0        2       2     | 0.5

   1          3      5                          23
= --- + (1 - ---) = --- (不是5/6，正確答案是 = ----)
   3          8      6                          24
※ 編輯: andy2007        來自: 140.125.169.71       (05/05 01:38)
※ 編輯: andy2007        來自: 140.125.169.71       (05/06 17:19)