推 kusoayan :太厲害了!! THX!! 05/04 23:43
推 G41271 :水 05/04 23:47
※ 引述《kusoayan (瑋哥)》之銘言：
: 想請教大家一題極限證明
: Prove the relation
: 1 1
: lim --------- (1^k + 2^k + .... + n^k) = --------
: n->∞ n^(k+1) k + 1
: for any nonnegative integer k.
: 題目有給Hint:
我用跟題目想要你做的方法不一樣的路
我的方法是這樣
先考慮排列組合問題
N格放1球
N
方法數有 C ＝ N
1
接著考慮放2球的情形
N-1
先將第一顆球放在第1格 則第二顆球有 C 種方法
1
N-2
2 C
1
.
.
. 1
n-1 C
1
因此得到
N N-1 i N-1 (N－1)N
C ＝ Σ C ＝Σ i＝ ────
2 i=1 1 i=1 2
以同樣方式處理3顆球的情形 得到
N N-2 i N-2 (i－1)i (N－2)(N－1)N
C ＝ Σ C ＝ Σ ──── ＝ ────────
3 i=2 2 i=2 2 3!
N
最右邊的等號是直接套最左邊的 C 的結果
k
於是 一般而言 就有
N N-p i N-p (i－p＋1)…(i－1)i (N－p)…(N－1)N
C ＝ Σ C ＝ Σ ────────── ＝ ─────────
P+1 i=p p i=p p! (p＋1)!
將最後一個等號的兩邊做變數代換 n＝N-p , k＝i－p＋1
n k(k＋1)…(k＋p－1) n(n＋1)…(n＋p)
Σ ────────── ＝ ─────────
k＝1 p! (p＋1)!
不過這個式子早就被發現而且很有名了
1636年法國數學家Fermat
興高采烈地給朋友寫了一封信：「我已解決了在算術中可以算是最漂亮的一個問題。」
就是指這個式子
他是怎麼得來的我就不知道了
從這個式子可以看出*
k+1
n k n
Σ i 出來的一般式, 其最高次就是 ──
i=1 k+1
1
所以那個極限值就是 ──
k+1
n 4
*怎麼看出? 譬如說你想知道Σ k 的一般式
k=1
你只要從那個式子代 p=4
n k(k+1)(k+2)(k+3) n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)
Σ ──────── ＝ ───────────
k=1 4! 5!
5 4 3 2
n 4 3 2 n ＋ 10n ＋ 35n ＋ 50n ＋24n
Σ ( k ＋ 6k ＋ 11k ＋ 6k )＝ ────────────────
k=1 5
n 3 n 2 n
先決條件 Σ k Σ k Σ k 這三個皆已知
k=1 k=1 k=1
n 4
代入就可以解出 Σ k
k=1
不過求這題極限無須完整解出
照這樣看 就可以很快看出最高次項
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※ 編輯: PaulErdos 來自: 115.43.150.27 (05/04 23:40)