[機統] 隨機過程

[dearwang (大雄)]

Suppose that x1,x2,x3... are independent and identically ditributed
with Pr{xk=±1}=1/2 , Let N be independent of x1,x2, ...and follow the
geometric probability mass function

Pr(k)=α(1-α)^k   for k =0 ,1...

where 0<α<1  Form the Random sum Z =x1+x2+....+xn

求  E(Z) ,  Var(Z) ,E(Z^3)  , E(Z^4)



我有算了一下E(Z)=0, VAR(Z)= (1-α)/α

但是我不會算E(Z^3)   和 E(Z^4)

我有想過是否因為獨立可以將E(Z^3)=E(Z^2)*E(Z)

但是在E(Z^4)答案就會跟解答不同了

解答:E(Z^3)=0
     E(Z^4)=[(1-α)*(6-α)]/α^2


請會的人教我一下  謝謝!!

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◆ From: 140.134.72.97
※ 編輯: dearwang        來自: 140.134.72.97        (05/05 11:48)
推 boss0405    :找出compound RV的MGF應該是可以求出來，但是計算過
→ boss0405    :程有點繁瑣
→ yhliu       :別亂套公式, 哪來的 E[Z^3]=E[Z^2]E[Z]?
→ yhliu       :照這邏輯 E[Z^2]=E[Z]E[Z], 那不就 Var(Z)=0?
→ yhliu       :因所有 x_i i.i.d. 對稱, 故 Z=Σx_i 之分布亦對稱,
→ yhliu       :所以 Z 的奇數階動差都是 0.
→ yhliu       :求 E[Z^4]=E[E[Z^4|N]] 就把 (Σx_i)^4 展開, 算出
→ yhliu       :E[Z^4|N=n], 然後求得 E[Z^4].
→ dearwang    :謝謝你阿 我在算算看 我的統計有點濫^_^
推 sprewell0705:樓上y兄可是統計博士阿~~在成大教書