推 MaaLong :先推再看 05/05 23:40
推 ntust661 :推矩陣~ 05/05 23:46
→ MaaLong :A 跟 D 相似 => dim ker(A-λjI)= dim ker(D-λjI) 05/06 00:02
→ MaaLong :可以問如何知道嗎 05/06 00:02
→ Yuchin1992 :特徵值相同 => 代數重數相同，幾何重數相同 05/06 00:18
※ 引述《MaaLong (奮發上進??)》之銘言：
: A可以對角化
: iff
: 幾何重根數=代數重根數
: 怎證明...
: 上課老師證一半 而且到後面就有地方看不懂
: 書上忽略證明...
: 有神人有檢一些的證明嗎
k1 k2 km
Let det(λI-A)=(λ-λ ) (λ-λ ) ...(λ-λ )
1 2 m
λj are distinct, k1 +...+ km = n //特徵多項式
"=>": A is diagonalizable
=> 存在 X n*n invitable matrix such that
┌ ┐
│ λ I │
│ 1 k1 │
│ 0 │
│ λ I │
│ 2 k2 │
│ │
│ . │
-1 │ │
X AX= │ . │
│ │
│ . │ =>令為D
│ │
│ 0 λ I │
│ m km │
│ │
└ ┘
┌
// │ λ1 =>λ1 k1個 ┐
│ λ1 │
│ . │
│ . =>λ2 k2個 │
│ . │
│ λ2 │
│ λ2 │
│ . │
│ . │
│ . │
│ λm │
└ ┘
Note that λj 的代數重數 = kj for j=1...m
A 跟 D 相似 => dim ker(A-λjI)= dim ker(D-λjI)
λj的幾何重數=
dim ker
┌ ┐
│ (λ1-λj)I │
│ k1 │
│ 0 │
│ (λ2-λj)I │
│ k2 │
│ . │
│ . │
│ . │
│ (λj-λj)I │
│ kj │
│ . │
│ . │
│ 0 . │
│ (λm-λj)I │
│ km │
└ ┘
= kj = λj的幾何重數 // 第j個剛好消掉，因此少了kj個pivot
=>代數重數=幾何重數
#
"<=": dim ker(A-λJi)=kj
j j j
Let {v , v , ... ,v } be a basis for ker(A-λjI)
1 2 kj
//注意：此處j不是次方，而是上標(老師這樣用那我就跟著用)
1 1 1 2 m n
Check {v , v , ... , v , v , ... , v } is a basis for R
1 2 k1 1 km
n
//定理：矩陣可對角化 <==> 其所有特徵向量可構成 R 的基底
下一步需要一個輔助定義(Lemma)，我列出來直接用
Lemma：If λ1...λm are distinct eigenvalues of A ,
yj 屬於 ker(A-λjI) , then
if y + y +...+ y = 0 => y = 0 for j = 1...m
1 2 m j #
1 1 1 1 2 2 m m
c v +...+ c v + c v +...+ c v = 0
1 1 k1 k1 1 1 km km
j j j j
Let y = c v +...+ c v
j 1 1 kj kj
=> yj 屬於 ker(A-λjI) and y1+y2+...+ym = 0
=> y1 = y2 = ... = ym = 0 (∵λj 都不同)
j j j j j j
=> y = c v +...+ c v = 0 and v ... v is a basis
j 1 1 kj kj 1 kj
j j
=> c = ... = c = 0
1 kj
n
又 k1 + k2 + ... + km = n = dim R
1 1 1 2 m n
=> {v , v , ... , v , v , ... , v } is a basis for R
1 2 k1 1 km
j
v 屬於 ker(A-λjI) => A is diagonalizable
i #
└─> eigenvector
寫起來有點長，但是觀念不難
可能寫得不是很完善，還請麻煩其他高手來補充
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