[機統] 條件幾何分佈

[andy2007 (...)]

前輩們好，在課本看到一題看不懂的題目，想請教各位前輩們，題目如下：

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一條生產線會生產2種型態的裝置。

型態 1 裝置的發生機率為 α，它的生命期為具參數 r 的幾何隨機分佈。

型態 2 裝置的發生機率為 1-α，它的生命期為具參數 s 的幾何隨機分佈。

令 X 為任意一個裝置的生命期。求出 X 的 pmf。

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產生出 X 的隨機實驗牽涉到先選取一種裝置狀態，然後觀察它的生命期。

我們可以分割本實驗的結果集合為「事件B1」和「事件B2」，

事件B1代表裝置是型態 1 的，事件B2代表裝置是型態 2 的。

在給定的裝置狀態之下，X 的條件 pmf 為：

                k-1
p    (k) = (1-r)   r   ;  k = 1,2,...
 X|B1
                k-1
p    (k) = (1-s)   s   ;  k = 1,2,...
 X|B2

使用全機率定理可以得到：

         n
p (x) = Σ  p (x|Bi) P[Bi]
 X      i=1  X


p (k) = p (k|B1) P[B1] + p (k|B2) P[B2]
 X       X                X

             k-1              k-1
      = (1-r)   r α   + (1-s)   s (1-α)   ; k = 1,2,...


並且求出這個裝置生命期的期望值和變異數。

也就是

條件期望值：
                  ∞                ∞          k-1    1
m     = E[X|B1] = Σ   k p (k|B1) = Σ  k r(1-r)    = --- (經過連加和指標變換)
 X|B1             k=1     X         k=1                r

         1
m     = ---
 X|B2    s

條件變異數：

                            2
VAR[X|B1] = E [ ( X － m    ) | B1 ]
                        X|B1

            ∞                2
          = Σ  ( x  － m    )   p (x |B1)
            k=1    k     X|B1     X  k

               2          2
          = E[X | B1] － m
                         X|B1

我的問題是：

二階動差該怎麼算呢？

   2
E[X | B1] = ？

我嘗試著套用一階動差的方法來算：

　 2
E[X | B1]
                                    2
  ∞    2    2        ∞   2       k - 1
= Σ   k p (k |B1) =  Σ  k  r(1-r)
  k=1                 k=1


= ..... 就不知道該怎麼算下去了 Orz

                (1+r)
課本的答案是 = -------
                 r^2

   2         (1+s)
E[X | B2] = -------
              s^2

請問各位前輩們，我該怎麼算呢？

只能用級數展開的方式來求解嗎？還是說我的算法錯了？

因為課本沒有提到動差母函數，所以也不知道動差母函數可不可以用。


初學機率，有很多搞不清楚的地方，請各位前輩們指點迷津、批評指教

謝謝各位前輩們的幫忙，謝謝您們～



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.125.169.71
※ 編輯: andy2007        來自: 140.125.169.71       (05/07 12:52)
→ yhliu       :f(x) = αr(1-r)^{x-1} + (1-α)s(1-s)^{x-1},
→ yhliu       :                                       x=1,2,...
→ andy2007    :謝謝yhliu老師，可以再多說明一些嗎？我不太懂 Orz
→ andy2007    :我明白了，次方的^{x-1}的x不需要再平方一次
→ andy2007    :但是這樣不就是求二階動差嗎，幾何分佈的二階動差是
→ andy2007    :[2/r^2]-[1/r] = (2-r)/r^2 和上面的(1+r)/r^2 不同

更改一下：

　 2
E[X | B1]

  ∞    2             ∞   2       k - 1
= Σ   k p (k |B1) =  Σ  k  r(1-r)
  k=1                 k=1

             1          2           3
= r + 4r(1-r)  + 9r(1-r)  + 16r(1-r)  + ...

                       2          3
= r +  r(1-r)  + r(1-r)   + r(1-r)  + ...
                       2          3
    +  r(1-r)  + r(1-r)   + r(1-r)  + ...
                       2          3
    +  r(1-r)  + r(1-r)   + r(1-r)  + ...
                       2          3
    +  r(1-r)  + r(1-r)   + r(1-r)  + ...

    +   ...

  ∞       k-1      ∞       k-1     ∞       k-1
= Σ r(1-r)     + 3 Σ r(1-r)    + 5 Σ r(1-r)    + ...
  k=1               k=2              k=3


  ∞       k-1           ∞       k-1        2 ∞       k-1
= Σ r(1-r)     + 3(1-r) Σ r(1-r)    + 5(1-r) Σ r(1-r)    + ...
  k=1                    k=1                   k=1
                     2
= 1 + 3(1-r) + 5(1-r) + ...

  ∞            k-1
= Σ (2k-1)(1-r)
  k=1

Let n = k-1

   2k - 1 = 2(k-1) + 1 = 2n+1

  ∞            n
= Σ (2n+1)(1-r)
  n=0

  ∞          n   ∞      n
= Σ (2n)(1-r)  + Σ (1-r)
  n=0             n=0

    ∞       n    1
= 2 Σ n(1-r)  + ---
    n=0           r

= 之後就不知道怎麼算了 Orz

※ 編輯: andy2007        來自: 140.125.169.71       (05/07 16:12)
※ 編輯: andy2007        來自: 140.125.169.71       (05/07 16:29)
→ yhliu       :你的問題本身問的是 p.m.f. 並沒有問動差.
→ yhliu       :X 的分布為 X1 與 X2 的混合, 則
→ yhliu       : E[X^k] = αE[X1^k]+(1-α)E[X2^k].
→ andy2007    :謝謝yhliu前輩，因為課本後面是要問變異數，所以需要
→ andy2007    :E[X^2 |B1] 這個東西，但是課本直接給出 = (1+r)/r^2
→ andy2007    :我是想問說 E[X^2|B1] 為什麼會等於 (1+r)/r^2
→ andy2007    :至於題目所問的pmf我是直接從課本打下來的，沒把問題
→ andy2007    :問清楚~真不好意思 Orz
→ andy2007    :http://ppt.cc/PiqY 這是課本的敘述
→ andy2007    :我想問說 E[X^2|B1] 為什麼會等於 (1+r)/r^2，算了好
→ andy2007    :久就是算不出來