Re: [微積] 一題極限(不得使用羅必達 泰勒展開)

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《kusoayan (瑋哥)》之銘言：
: 老師給了一題極限
: 而且要求不可以用羅必達 也不能用泰勒展開式 ~"~
: 想請教大家可以怎麼做
:        1 - (sinx)/x
: lim   ---------------
: x->0       x^2
: 謝謝!!

首先, [1-(sin(x)/x]/x^2 是偶函數, 因此只需考慮 x>0.

令 f(x) = x-sin(x), g(x) = x^3.

則 by Cauchy MVT, for x>0,

  1-sin(x)/x     x - sin(x)     1-cos(y)
 ------------ = ------------ = ----------
     x^2           x^3            3y2

                        for som y in (0,x).

當 x→0 時, y→0.


但
         1 - cos(y)         2sin^2(y/2)
   lim  ------------ = lim -------------
   y→0     3y^2      y→0   12(y/2)^2


        = (1/6)[ lim sin(y/2)/(y/2)]^2
                 y→0

        = 1/6.

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推 keith291    :推
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推 wickeday    :羅必達好像就是這樣證的XD?
→ kusoayan    :謝謝
推 cckk3333    :可以問一下分子分母同時用MVT為什麼y的直會一樣嗎?
→ yhliu       :那是 Cauchy MVT...可能初微只講 Largrange MVT.
→ yhliu       :Lagrange 的 MVT 是針對一個函數的; Cauchy MVT 則是
→ yhliu       :針對兩個函數相除的...把分母 b-a 換成 g(b)-g(a).