推 icu :這個厲害。感謝各位~也讓我學到艱深不等式XD.. 05/09 01:14
※ 引述《icu (這是可以說的秘密)》之銘言：
: 0<A,B,C<π
: 証
: sinA+sinB+sinC ≦ 3 sin[(A+B+C)/3]
: 完全不知道怎麼下手
: 謝謝
因為sin函數在0~π之間是凸函數
所以 (1/2)(sinA + sinB) ≦ sin(A+B/2)
也可以用另一個角度想
就是和差化積:
A + B A - B
sinA + sinB = 2sin(-------)cos(-------)
2 2
A - B
因為cos(-------) ≦ 1 (cos函數的性質)
2
A + B
所以 sinA + sinB ≦ 2sin(-------)
2
同理對於任一角度D , 0<D<π
A+B+C+D
則 sinA + sinB + sinC + sinD ≦ 4sin(---------)
4
A+B+C
令 D = ------- , 則D還是介於0~π之間
3
A+B+C A+B+C
=> sinA + sinB + sinC + sin(-------) ≦ 4sin(-------)
3 3
A+B+C
=> sinA + sinB + sinC ≦ 3sin(-------)
3
得證.
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