推 sa12e3 :很難算，剛有試過@@ 05/09 10:37
→ forbeat :帶入化簡會消掉啦~ 不过真的慢了點 哈~ 05/09 10:42
※ 引述《XII (Mathkid)》之銘言：
: ※ 引述《tingisall ( @@)》之銘言：
: : 三角形ABC中 AB=c BC=a AC=b
: : 已知tan(A/2)‧tan(C/2)=1/3
: : 證:a b c三數成等差
: : (題目不知道有沒有記錯 有錯請指正 謝謝)
: 設 x=(-a+b+c)/2, y=(a-b+c)/2, z=(a+b-c)/2
: 條件即為(r/x)(r/z)=1/3
: ABC面積=((x+y+z)xyz)^(1/2)=r(x+y+z)
: => (x+y+z)xyz=r^2(x+y+z)^2=(1/3)xz(x+y+z)^2
: => 3y=x+y+z => (y+z)+(x+y)=2(x+z) => a,b,c成等差
先用倍角方法來算
所以[tan(A/2)]^2=(1-cosA)/(1+cosA)而且[tan(C/2)]^2=(1-cosC)/(1+cosC)
因此[tan(A/2)]^2*[tan(C/2)]=1/9
再配合餘弦將a b c帶入方程式裡面,化簡完之後會得到三邊長的關係是成等差
方法慢了點XDDD
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