Re: [中學] 100台南二中教甄證明

[ntnusliver (炸蝦大叔~~)]

※ 引述《tingisall ( @@)》之銘言：
: 三角形ABC中 AB=c BC=a AC=b
: 已知tan(A/2)‧tan(C/2)=1/3
: 證:a b c三數成等差
: (題目不知道有沒有記錯 有錯請指正 謝謝)

把tan 換成  sin/cos

3sin(A/2)sin(C/2)= cos(A/2)cos(C/2)

=> 2sin(A/2)sin(C/2)= cos(A/2)cos(C/2)-sin(A/2)sin(C/2)

                    = cos(A/2 + C/2) =sin(B/2)

兩邊同乘 2cos(B/2)

=> 2cos(B/2)sin(B/2)= 4sin(A/2)sin(C/2)cos(B/2)

=> sinB= 4sin(A/2)sin(C/2)sin(A/2 + C/2)

       =4sin^2(A/2)sin(C/2)cos(C/2) + 4sin^2(C/2)sin(A/2)cos(A/2)

       = 2sin^2(A/2) sinC +  2sin^2(C/2) sinA

       = (1-cosA)sinC + (1-cosC)sinA

       = sinA + sinC - (cosAsinC +sinAcosC)  = sinA +sinC -sinB

=> sinA+sin C = 2sinB


過程幾乎都是兩倍角公式和和角公式  同乘 2cos(B/2)之後就可以順順一路推到底了

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◆ From: 210.70.27.8
※ 編輯: ntnusliver      來自: 210.70.27.8          (05/09 10:48)
推 liuo        :推