Re: [中學] 100台南二中教甄證明

[pgcci7339 (= =)]

※ 引述《tingisall ( @@)》之銘言：
: 三角形ABC中 AB=c BC=a AC=b
: 已知tan(A/2)‧tan(C/2)=1/3
: 證:a b c三數成等差
: (題目不知道有沒有記錯 有錯請指正 謝謝)

  令 s=(a+b+c)/2，內切圓半徑=r，則

  tan(A/2)‧tan(C/2)=r/(s-a)‧r/(s-c)=1/3

  1/tan(B/2)=cot(B/2)

            =tan(A/2+C/2)

            =[tan(A/2)+tan(C/2)]/[1-tan(A/2)‧tan(C/2)]

  可知 tan(A/2)‧tan(B/2)+tan(B/2)‧tan(C/2)=2/3

  => 2/3=r^2/[(s-a)(s-b)]+r^2/[(s-b)(s-c)]

        =1/3{[(s-a)(s-c)/(s-a)(s-b)]+[(s-a)(s-c)/(s-b)(s-c)]

  => 2(s-b)=(s-a)+(s-c)

  => 2b=a+c

  故 a b c三數成等差。

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◆ From: 59.126.130.138
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