Re: [中學] 100師大附中

[blackpaladin (我不是研究僧)]

※ 引述《hb13256 (*)》之銘言：
: 填充.8
:  ∞   (-1)^n * (n^2-n+1)
:  Σ  -------------------- =？
:  n=0       2^n
: 謝謝a016258版友的文章
: 令x=(-1/2)
:  ∞                          ∞
:  Σ  x^2 *(n^2-n)* x^(n-2) + Σ x^n =  x^2 [1/(1-x)]'' + 1/(1-x)
:  n=0                        n=0
: =x^2 [2 /(1-x)^3] + 1/(1-x)
: =22/27

: 計算.4
: 試證明 (n-1)!除以n的餘數為n-1 ←→ n為質數
: 想問 "←" 要如何證明

沒人回4 我就獻醜啦

→

(n-1)!= n-1 (mod n)

則 (n-1)!-(n-1)= 0 (mod n)

(n-1)*[(n-2)!-1]= 0 (mod n)

因此 n為[(n-2)!-1]的因數

又依據類似質數個數無限的證明

(n-2)!-1不是 2~(n-2)的倍數

所以n也沒有 2~(n-2)的因數


另外 (n-1)必不為n的因數 (n=2除外)

所以 2~(n-1)都不是n的因數

則n為質數



填充3與8我覺得比較難

有人可以分享3的結果嗎?

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 163.30.174.1
推 superlori   :可以參考一下，裡面的討論串有兩種解法
→ superlori   :http://math.pro/db/thread-1100-1-1.html
推 enunion     :推
推 RainIced    :為什麼  "(n-2)!-1不是 2~(n-2)的倍數 " 可以推論出
→ RainIced    :"所以n也沒有 2~(n-2)的因數"?
推 RainIced    :我知道了。用反証法!
→ snew1209    :這篇是證 ← ?
OK 我發現我給錯了 反正當時兩邊都有寫

推 dream10     :填充3上面往只有呀~~您可以去看看
→ sa12e3      :         網址

←

n是質數 則把1到(n-1)看成乘法群 Z_(n)*的元素

其中 唯一兩個元素1與(n-1)是自反元素

其他每個元素都有的配


(n-1)!一共是偶數個數相乘 除了1與(n-1) 其他都兩兩配對

化為單位元素1

因此(n-1)!=(n-1) (mod n)



還好代數沒爛掉 哈哈哈哈哈


改個箭頭 我發現我錯誤多多呢 XD


※ 編輯: blackpaladin    來自: 114.32.183.96        (05/10 00:33)
※ 編輯: blackpaladin    來自: 114.32.183.96        (05/10 00:43)
推 kinki1843   :感謝！！你證的比較讓人看的懂
→ blackpaladin:因為我不是高手阿 哈哈哈
→ blackpaladin:ㄟ 後來發現 原PO文章早就有人回了 哈哈哈
→ snew1209    :請問為什麼 不會有兩人以上有共同反元素
好吧 當時有想過這點 也順便補進去


欲證明:Z_(p)* 的自反元素只有1與(n-1)


設元素k為自反元素


則 k^2= 1 (mod p)

   (k^2)-1= 0 (mod p)

   (k+1)(k-1)是 p的倍數


因為p是質數 所以k-1是p的倍數 或k+1是

又 0< k< p 所以會出現的p的倍數只有0與p

那麼 解方程式的結果 k只能是1與n-1

得證



※ 編輯: blackpaladin    來自: 163.30.174.1         (05/11 12:30)
→ snew1209    :想請問譬如{2,3,4,5}  為什麼一定剛好被分兩組
→ snew1209    :有沒有可能某兩個元素  共用一個反元素
推 snew1209    :不知道是不是太trivial  感謝大大費心指點
→ blackpaladin:兩個元素共用一個反元素 會導致兩元素相等
→ blackpaladin:這可是基礎代數 群那一部分的常見習題喔
推 keroro321   :推用心!