[工數]傅立葉級數的係數證明

[MrPanda (不人氣揪團師)]

大家好
我想請問一下

一個週期為T的f(x) 傅立葉級數可以表示成

     ∞
A0 + Σ An cos(2nπ/T)x + Bn sin(2nπ/T)x
     n=1


其中A0 =  1/T ∫f(x)dx
               T


證明是
如果我對f(x)在週期T內做積分
                     ∞
∫f(x)dx  = A0∫1dx +Σ An∫cos(2nπ/T)x dx +∫Bn sin(2nπ/T)x dx
 T             T     n=1   T                  T

=A0(T)   ;得証 A0對應的是週期全長
(使用-T/2~T/2去積分可以得到)

不懂的是為何An 項與 Bn項等於0

我的想法是 Bn項的sin是奇函數 所以 在左右對稱的週期作積分會等於零
至於cos是偶函數 左右對秤週期不是應該變成兩倍的函數積分嗎?
為什麼也會等於0呢
但是如果An或是Bn又不等於零 那就不知道A0的對應週期

想請問一下
究竟後面兩項會為零

謝謝各位!!

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.26.52.58
→ perturb     :直接積分出來就知道了。 cos左半個周期積分為零
不好意思我不太懂
所以我如果用
cos -π ~ π去做積分就可以得到面積0
是這樣嗎?

※ 編輯: MrPanda         來自: 114.26.52.58         (05/11 13:23)
推 target8917  :係數不是要用正交性先求嗎
不懂
是sin 跟 cos的正交嗎?
※ 編輯: MrPanda         來自: 114.26.52.58         (05/11 13:33)
→ suhorng     :sin是奇函數是0沒錯,但是cos在兩半都是0,因此加起來
→ suhorng     :還是0 XD?
推 xxxorc      :COS 和 SIN  在定義區間與"1"正交  應該吧