Re: [中學] 100中和高中教師甄選

[ownlai (旺來)]

※ 引述《RainIced (我好想念快速的宿網)》之銘言：
: 1. N 為三位數，是11的倍數。且 N/11 為N的各位數字的平方和。
:    試找出所有的N 。
: 2. p、q 為正整數，
:    p/q = 1-1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 +.....-1/1318 + 1/1319
:    證明 p 可被 1979整除。
: 想問這兩題該如何寫？謝謝。

1. 令N = 100x + 10(x+y) + y, x y 個位數整數且 x != 0
     N/11 = (110x + 11y)/11 = 10x + y = x^2 + (x + y)^2 + y^2
                            = 2x^2 + 2y^2 + 2xy
     2x^2 + 2y^2 + 2xy - 10x - y = 0
     2x(x + y -5) + y(2y - 1) = 0   => y(2y - 1) > 0  or y = 0
                                    => x + y < 5      or y = 0

     2 | 2x 且 2 不| (2y-1) 所以 2 | y  => y = 0 or 2 or 4

     (1) y = 0 => x = 5 => N = 550
     (2) y = 2 => x(x-3) + 3 = 0 => 無
     (3) y = 4 => x(x-1) + 14 = 0 => 無


2. 1 - 1/2 + 1/3 -...... = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/1319
                         -(1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/659)
                         = 1/660 + 1/661 + ... + 1/1319
                         (最前跟最尾項配 第二項配倒數第二項 ...)
                         = (660+1319)/(660*1319) + (661+1318)/(661*1318) + ...
                         = 1979 * K

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◆ From: 140.112.30.32
推 G41271      :1/(660*1319)+1/(661*1318)+...會是整數嗎
→ G41271      :喔我誤會題目了 拍謝
→ ricestone   :反正也還是得要說明1979是質數所以不會被破壞
※ 編輯: ownlai          來自: 140.112.30.32        (05/14 15:34)
→ snew1209    :1.CASE2:N=100x+10(x+y-11)+y
推 RainIced    :感謝!